Problema CO:4993 din GM 12/2008

[smileyRadu]

Fie \( f:[0,\pi]\rightarrow R \) o functie derivabila. Sa se arate ca exista \( a\in[0,\pi] \) astfel incat\( f^{\prime}(a)-f^{2}(a)<1. \)

GM 12/2008

[Marius Mainea]

Presupunem prin absurd ca \( f^{\prime}(x)-f^2(x)\ge 1 \) pentru orice x din \( [0,\pi] \).

Atunci rezulta ca \( [\arctan f(x)]^{\prime}\ge 1 \), deci \( x\longrightarrow \arctan f(x)-x \) este crescatoare, deci \( \arctan f(\pi)-\pi\ge \arctan f(0)-0 \) contradictie.