Patrulaterul \( ADCD \) are doua laturi opuse paralele. Fie \( M \) si \( N \) mijloacele laturilor \( [DC] \), respectiv \( [BC] \) iar \( \{P\}=AM \cap DN \). Daca \( \frac{PM}{AP}=\frac{1}{4} \), atunci patrulaterul \( ABCD \)este paralelogram.
ONM 1997
Exista o rezolvare cu geometrie analitica ?
Problema geometrie cu un patrulater
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
DrAGos Calinescu
- Thales
- Posts: 121
- Joined: Sun Dec 07, 2008 10:00 pm
- Location: Pitesti
S-a dat la a IX-a? E cam usoara. Analitic exista rezolvare, dar ce rost are sa ne complicam la astfel de probleme.
Presupunem \( AB\parallel CD \) (cazul celalalt se trateaza analog avand in vedere ca se considera mijloacele a doua laturi alaturate).
Notam intersectia dreptelor \( DN \) si \( AB \) cu \( O \).
\( \triangle NDC\sim\triangle NOB\Longrightarrow BO=DC \)
\( \triangle PDM\sim\triangle POA\Longrightarrow OA=4DM\Longrightarrow AO=2DC \).
Deci \( DC=AB \) si problema este rezolvata.
Presupunem \( AB\parallel CD \) (cazul celalalt se trateaza analog avand in vedere ca se considera mijloacele a doua laturi alaturate).
Notam intersectia dreptelor \( DN \) si \( AB \) cu \( O \).
\( \triangle NDC\sim\triangle NOB\Longrightarrow BO=DC \)
\( \triangle PDM\sim\triangle POA\Longrightarrow OA=4DM\Longrightarrow AO=2DC \).
Deci \( DC=AB \) si problema este rezolvata.
Last edited by DrAGos Calinescu on Tue Apr 07, 2009 9:19 pm, edited 1 time in total.