Determinantul unei matrice antisimetrice

[Alin Galatan]

Fie \( A\in M_n(\mathbb{Z}) \) cu n par astfel incat \( A+A^t=O \), unde \( A^t \) e transpusa lui \( A \). Atunci \( \det(A) \) este patrat perfect.
Daca nu patrat perfect, macar sa arate cineva ca e pozitiv.

[Iulian Cimpean]

Se stie ca o matrice antisimetrica A are valorile proprii nule sau pur imaginare. Ca un corolar se poate demonstra ca daca A e antisimetrica exista o matrice Q ortogonala cu \( QAQ^t=diag(A_1,\dots,A_l,0,\dots,0) \), unde \( A_j \) e o matrice patratica de ordinul 2 antisimetrica doar cu elementele de pe diagonala principala nule. Rezulta apoi ca pt o matrice de ordinul par det-ul e pozitiv, iar pt una cu ordinul impar este 0.