Am tot auzit de ipoteza asta ca intre \( \aleph_0 \) si \( 2^{\aleph_0} \) nu exista un alt numar cardinal. Am citit recent ca s-a demonstrat de catre Godel ca nu se poate demonstra cu axiomele ZF ca ipoteza continuumului este falsa.
De asemenea, unii profesori considerau adevarata ipoteza. Cum e acceptata in lumea matematicii ipoteza asta? Se considera adevarata sau nu?
Ipoteza Continuumului
Moderator: Liviu Paunescu
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Ipoteza Continuumului
Yesterday is history,
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present.
Blog
Tomorow is a mistery,
But today is a gift.
That's why it's called present.
Blog
-
Liviu Paunescu
- Pitagora
- Posts: 84
- Joined: Wed Sep 26, 2007 6:57 pm
Da, pe mine unul ma obsedeaza problema asta. Daca ar fi sa numesc o problema la care as vrea sa stiu raspunsul asta ar fi.
Putina istorie: Goedel (1940) demonstreaza ca CH nu poate fi infirmata in ZFC, iar Cohen (1963) arata ca CH nu poate fi demonstrata in ZFC si ia si Fields-ul pentru asta in 1966. Recent W. Hugh Woodin cu niste argumente controversate sugereaza ca ar fi falsa, ca \( \aleph_c=\aleph_2 \).
Deci CH este independenta fata de axiomele ZFC, nu independenta si atat asa cum spun 99% dintre matematicieni, care si considera problema incheiata. Nimeni nu o presupune in nici un fel si de fapt nici nu te prea intalnesti cu CH, doar pe la analiza la niste exemple de care oricum poti sa te lipsesti.
E una dintre problemele care arata ca noi nu intelegem notiunea de multime. Ce urmeaza sa zic acum este parerea mea si s-ar putea ca experti ai domeniului sa ma contrazica.
Problema este de fapt notiunea de submultime. Nu putem construi prin axiome toate submultimile numerelor naturale. Aceasta ultima afirmatie este, din punctul meu, echivalenta cu teorema de incompletitudine a lui Goedel: orice sistem de axiome care contine aritmetica numerelor naturale este incomplet. Numerele naturale sunt descrise complet doar de axioma inductiei, aceea care incepe cu orice submultime, ori noi in logica de ordinul intai nu putem construi toate submultimile, deci nu putem formaliza complet sistemul numerelor naturale.
Daca nu putem construi toate submultimile numerelor naturale, evident nu putem sa le numaram, sa spunem cate sunt, ceea ce intreaba ipoteza continuului. Ar putea sa apara o intrebare. In acest moment, modelele lui ZFC contin mai putine submultimi decat ar trebui. Atunci CH e falsa si putem contrui modele pentru ZFC in care e adevarata deoarece in aceste modele avem foarte putine submultimi.
Celalalt scenariu posibil esta ca CH sa fie adevarata si putem construi modele in care este falsa deoarece nu vedem nici o bijectie intre \( \aleph_c \) si \( \aleph_1 \). Functiile sunt si ele submultimi (ale produsului cartezian), deci daca nu vedem toate submultimile nu vedem nici toate functiile si se poate ca doua multimi sa fie cardinal echivalente, dar in acel model sa nu vedem nici o bijectie intre ele. Fenomenul acesta a dat batai de cap si lui Cohen in 63.
Sper ca am fost cat de cat clar, e o discutie care pe mine ma pasioneaza mult, dar sunt depasit de ceea ce se studiaza acum despre CH.
Putina istorie: Goedel (1940) demonstreaza ca CH nu poate fi infirmata in ZFC, iar Cohen (1963) arata ca CH nu poate fi demonstrata in ZFC si ia si Fields-ul pentru asta in 1966. Recent W. Hugh Woodin cu niste argumente controversate sugereaza ca ar fi falsa, ca \( \aleph_c=\aleph_2 \).
Deci CH este independenta fata de axiomele ZFC, nu independenta si atat asa cum spun 99% dintre matematicieni, care si considera problema incheiata. Nimeni nu o presupune in nici un fel si de fapt nici nu te prea intalnesti cu CH, doar pe la analiza la niste exemple de care oricum poti sa te lipsesti.
E una dintre problemele care arata ca noi nu intelegem notiunea de multime. Ce urmeaza sa zic acum este parerea mea si s-ar putea ca experti ai domeniului sa ma contrazica.
Problema este de fapt notiunea de submultime. Nu putem construi prin axiome toate submultimile numerelor naturale. Aceasta ultima afirmatie este, din punctul meu, echivalenta cu teorema de incompletitudine a lui Goedel: orice sistem de axiome care contine aritmetica numerelor naturale este incomplet. Numerele naturale sunt descrise complet doar de axioma inductiei, aceea care incepe cu orice submultime, ori noi in logica de ordinul intai nu putem construi toate submultimile, deci nu putem formaliza complet sistemul numerelor naturale.
Daca nu putem construi toate submultimile numerelor naturale, evident nu putem sa le numaram, sa spunem cate sunt, ceea ce intreaba ipoteza continuului. Ar putea sa apara o intrebare. In acest moment, modelele lui ZFC contin mai putine submultimi decat ar trebui. Atunci CH e falsa si putem contrui modele pentru ZFC in care e adevarata deoarece in aceste modele avem foarte putine submultimi.
Celalalt scenariu posibil esta ca CH sa fie adevarata si putem construi modele in care este falsa deoarece nu vedem nici o bijectie intre \( \aleph_c \) si \( \aleph_1 \). Functiile sunt si ele submultimi (ale produsului cartezian), deci daca nu vedem toate submultimile nu vedem nici toate functiile si se poate ca doua multimi sa fie cardinal echivalente, dar in acel model sa nu vedem nici o bijectie intre ele. Fenomenul acesta a dat batai de cap si lui Cohen in 63.
Sper ca am fost cat de cat clar
, e o discutie care pe mine ma pasioneaza mult, dar sunt depasit de ceea ce se studiaza acum despre CH.Mesajul Depeche Mode pentru matematicieni:
"You'll see your problems multiplied
If you continually decide
To faithfully pursue
The policy of truth"
"You'll see your problems multiplied
If you continually decide
To faithfully pursue
The policy of truth"