Inegalitati

[Marius Mainea]

1) Demonstrati ca pentru orice numere reale a,b,c\( \in (0,\infty) \) cu a+b+c=3, are loc inegalitatea

\( 1+8abc\ge9\cdot \min\{a,b,c\} \).

V. Cirtoaje

2) Aratati ca pentru \( a,b,c\in (0,\infty) \) cu a+b+c=1,
\( \frac{2-3a}{a(1-a)}+\frac{2-3b}{b(1-b)}+\frac{2-3c}{c(1-c)}\le \frac{1}{2abc} \)

V. Cirtoaje

[Antonache Emanuel]

Nu stiu daca este bine:

Folosim inegalitatea dintre media aritmetica si media geometrica in cazul lui a,b,c si ne da: \( abc\le1 \) rezulta ca \( bc\le\frac{1}{a} \). Daca a este cel mai mic, automat a este subunitar, iar un raportul dintre 1 si a este supraunitar, deci \( bc\geq1 \). Presupunem ca a este cel mai mic numar (se poate aplica aleator la orice numar) si facem impartirea prin a.
Ne da ca \( \frac{1}{a}+8bc\geq bc+8bc=9bc\geq 9 \), deci \( bc\geq1 \), care este adevarat.

[Marius Mainea]

iar un raportul dintre 1 si a este supraunitar, deci \( bc\geq1 \).

Emanuel nu e adevarat, de exemplu \( a=b=\frac{1}{4} \) si \( c=\frac{5}{2} \) nu verifica.

[DrAGos Calinescu]

Ai scris \( \frac{1}{a}\ge bc \) si ca \( \frac{1}{a}\ge 1 \) ceea ce nu implica neaparat ca \( bc\ge 1 \)