Suma de patrate in conditiile in care n-m este par

[Claudiu Mindrila]

Pentru doua numere naturale \( m \) si \( n \) sa se arate ca numarul \( 5^n+5^m \) se scrie ca suma a doua patrate perfecte daca si numai daca \( n-m \) este par.

V. Zidaru, O.N.M. 2003

[Marius Mainea]

Indicatie:

Se analizeaza cazurile: m, n de aceeasi paritate, respectiv de paritati diferite.

[Andi Brojbeanu]

\( "\Leftarrow": n-m \) par \( \Rightarrow m \) si \( n \) sunt de aceeasi paritate.
Daca \( m=2k \), \( n=2l \), atunci \( 5^m+5^n=(5^k)^2+(5^l)^2 \), suma a doua patrate.
Daca \( m=2k+1 \), \( n=2l+1 \), atunci \( 5^m+5^n=5[(5^k)^2+(5^l)^2]=(2^2+1^2)[(5^k)^2+(5^l)^2]=(2\cdot 5^k-5^l)^2+(5^k+2\cdot 5^l)^2 \), suma a doua patrate.
\( "\Rightarrow" \): Presupunem ca \( n-m \) nu este par\( \Rightarrow m \) si \( n \) sunt de paritati diferite \( \Rightarrow 5^m+5^n=5^{2k+1}+5^{2l}=5\cdot 25^{k}+25^l=5\cdot (M_8+1)+M_8+1=M_8+5+M_8+1=M_8+6 \).
Cum un patrat perfect poate fi de forma \( M_8, M_8+1, M_8+4 \), inseamna ca suma a doua patrate perfecte nu poate fi de forma \( M_8+6 \). Deci, presupunerea facuta este falsa.