Problemele de la concurs

[Beniamin Bogosel]

Problema 1. Fie \( n\geq 3 \) un numar natural impar. Se dau \( n \) puncte distincte in plan. Demonstrati ca exista o unica linie poligonala inchisa \( A_1A_2...A_n \) astfel incat punctele date sa fie mijloacele segmentelor \( A_iA_{i+1},\ i=1..n,\ A_{n+1}=A_1 \).
Ramane acest lucru adevarat si pentru \( n \) par?

Problema 2. Determinati numerele naturale care pot fi scrise ca suma cifrelor unui patrat perfect.

Problema 3 s-ar putea sa nu fie buna.

Problema 4. In afara triunghiului \( ABC \) se construiesc triunghiurile \( ABN \) si \( ACM \). Notam \( \{I\}=MB\cap NC \).
Demonstrati ca oricare doua dintre afirmatiile de mai jos o implica pe a treia:
1) \( \Delta AMC \sim \Delta ABN \);
2) \( MNBC \) este inscriptibil;
3) \( AI,\ BN,\ MC \) sunt concurente.

Problema 5. Fie numerele reale \( a,b,c>0 \). Demonstrati ca \( \sqrt[4]{a+\sqrt[3]{b+\sqrt{c}}}>\sqrt[40]{abc}. \)

Problema 6. Fie sirul \( (a_n) \) definit prin \( a_0\in \mathbb{N}^* \) si exista \( p\geq 2 \) si \( a \in \mathbb{N}^* \) astfel incat \( a_{n+1}=\sqrt[p]{a_n^p+a},\ \forall n\geq 1 \).
Fie \( A=\{a_k : k \in \mathbb{N}\} \). Demonstrati ca multimile \( A \cap \mathbb{Q} \) si \( A\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) \) sunt infinite.

[maxim bogdan]

Problema 2 este cunoscuta. Apare prin aproape toate cartile ca aplicatii la suma cifrelor. A fost data la concursul Iberoamerican 1995. E discutata aici.

[Beniamin Bogosel]

Am luat-o din gazeta, dintr-un numar dinainte de 1995.
Oricum, am zis ca n-am de unde sa iau probleme originale... (si chiar daca as avea, s-ar merita oare?).

[Beniamin Bogosel]

Pentru integalitate am o solutie interesanta:

Daca ne uitam atent, observam ca daca inlocuim tripletul \( (a,b,c) \) cu \( (ka,k^3b,k^6c) \) atunci \( k \) se simplifica, deci inegalitatea nu se modifica. Astfel putem fara sa reducem generalitatea sa presupunem ca \( c=1 \), si inegalitatea de rezolvat devine:

\( a+\sqrt[3]{b+1}>\sqrt[10]{ab},\ \forall a,b >0 \), ceea ce nu e prea greu.