Subiectul I Gheorghe Lazar 2009 Sibiu

[DrAGos Calinescu]

Notam cu \( F \) multimea functiilor \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) avand proprietatea
\( 2f(3-2x)+f(\frac{3-x}{2})=x,\forall x\in\mathbb{R}. \)
\( a) \) Sa se arate ca \( F \) contine cel putin o functie bijectiva.
\( b) \) Notam \( M=\{ 4^{-n}+1|n\in\mathbb{Z}\} \) Pentru fiecare \( a\in\mathbb{R} \) definim functia \( g_a (x)=0 \) daca \( x\in\mathbb{R} -M \) sau \( g_a(x)=(-2)^na \) ,daca \( x=4^{-n}+1\in M. \)
Sa se verifice ca
\( 2g_a(3-2x)+g_a(\frac{3-x}{2})=0\forall x,a\in\mathbb{R}. \)
\( c) \) Demonstrati ca \( F \) este infinita.

Dumitru Barac, Sibiu