Determinare numere complexe

Filip Chindea · Post by **Filip Chindea** » Sat Mar 07, 2009 7:23 pm

Sa se determine numerele complexe \( z_1, z_2, z_3 \) de acelasi modul, cu proprietatea ca \( z_1 + z_2 + z_3 = z_1z_2z_3 = 1 \).

Gazeta Matematica

[ Olimpiada Judeteana 2009, Problema 2]

Filip Chindea · Post by **Filip Chindea** » Sat Mar 07, 2009 9:21 pm

bgd wrote:din nou banal.
Cred ca anul asta la a-10-a s-a batut recordul celor mai simple subiecte din istoria olimpiadei.Localele din multe judete au fost mult mai grele.

Pe sursa: rezultate Galati.
Pe scurt: legat de P3, punctul (b) (si anume ca cealalta solutie, cand \( f(x) = 3^x - (x + 2) \) trece prin \( 0 \) de la \( -2 \) la \( -1 \), este irationala) era o chestiune relativ simpla de teoria numerelor, dar din pacate fara nicio legatura cu clasa X-a. Surprinzator, P4 - clasica nu prea a fost pe placul elevilor; iar la P2 pare ca, intr-adevar, singura solutie este cea care urmeaza, iar problema din GM putea sa fie confruntata cu altele de catre elevii respectivi.

Solutia problemei. Pentru \( |z_1| = |z_2| = |z_3| = r \), \( r^3 = 1 \) deci \( r = 1 \). Prin conjugare, si din relatia \( \overline{z_k} = 1/z_k \),

\( 1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3 = 1 \), \( \sum z_1z_2 = z_1z_2z_3 = 1 \).

Fie \( f(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) \in \mathbb{C}[z] \). Din relatiile obtinute,

\( f(z) = z^3 - z^2 + z - 1 = (z - 1)(z + i)(z - i) \), \( \bigl\{z_1, z_2, z_3\bigr\} = \{1, +i, -i\} \),

ceea ce verifica relatiile date.

Observatie. Fac trimitere urgenta la asta: desi taiata din programa, considerarea obiectelor tip sume elementare/sume de puteri se dovedeste eficace in probleme de tip "simetric", printre altele si cateva subiecte de concurs din ultimii ani, inclusiv cazul de fata.

bgd · Post by **bgd** » Sat Mar 07, 2009 10:11 pm

Si ce nu-i asa?Chiar si asta e mult prea simpla ptr judeteana.N-or fi banale pentru orice concurent,dar in raport cu subiecte din alti an,cam sunt.
Si n-as fi spus asta,daca n-as fi fost la corectat,unde intr-o teza am gasit "aceasta problema nu are ce cauta la olimpiada judeteana;nimic personal"

Evident "autorul" avea teza completa.
Eu nu zic ca-i rau sa se dea probleme accesibile,sa nu mai ia elevii 0 puncte,dar macar daca tot se da asa,sa se fi dat si la a-12-a 2 probleme banale,ceea ce nu a fost cazul.In schimb la a-12-a subiectul enunta o cerinta,baremul rezolva altceva...

mihai++ · Post by **mihai++** » Sun Mar 08, 2009 1:37 pm

Nu e singura solutie. Eu am facut-o si asa, dar si geometric.

Din cauza ca \( |z_1|=|z_2|=|z_3|=|z_H|=1 \) rezulta ca triunghiul \( A_1A_2A_3 \) e dreptunghic si deci doua dintre \( z_1,\ z_2,\ z_3 \) sunt opuse si de aici totul e simplu.