Fie \( S(x)=1+\frac{1}{2}+\ldots + \frac{1}{m-1}-\frac{x}{m}+\frac{1}{m+1}+\ldots +\frac{1}{2m-1}-\frac{x}{2m}+\frac{1}{2m+1}+\ldots + \frac{1}{3m-1}-\frac{x}{3m}+\ldots \)
Sa se arate ca \( S(x) \) nu poate converge pentru doua valori distincte ale lui x.
The Math Problems Notebook - Valentin Boju, Louis Funar
Sir ce converge pentru o singura valoare a lui x
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Ciprian Oprisa
- Pitagora
- Posts: 55
- Joined: Tue Feb 19, 2008 8:01 pm
- Location: Lyon sau Cluj sau Baia de Cris
Sir ce converge pentru o singura valoare a lui x
Un lucru este ceea ce este, nu ceea ce pare a fi.
Consideram sirul:
\( f_n (x)= \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{(i-1)m+1}+ \dots +\frac{1}{im-1}-\frac{x}{im} \right). \)
Daca seria \( S(x) \) este convergenta pentru doua valori, fie acestea \( x \) si \( y \), atunci sirul \( (f_n) \) va fi de asemenea convergent pentru valorile \( x \) si \( y \).
Evaluam diferenta \( f_n(x)-f_n(y) = \frac{y-x}{m} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \to \pm \infty \), ceea ce contrazice convergenta lui \( f_n(x) \) si \( f_n (y) \).
\( f_n (x)= \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{(i-1)m+1}+ \dots +\frac{1}{im-1}-\frac{x}{im} \right). \)
Daca seria \( S(x) \) este convergenta pentru doua valori, fie acestea \( x \) si \( y \), atunci sirul \( (f_n) \) va fi de asemenea convergent pentru valorile \( x \) si \( y \).
Evaluam diferenta \( f_n(x)-f_n(y) = \frac{y-x}{m} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \to \pm \infty \), ceea ce contrazice convergenta lui \( f_n(x) \) si \( f_n (y) \).