Inegalitate trigonometrica

[BogdanCNFB]

Fie \( x,y\in[0,\frac{\pi}{2}] \). Demonstrati ca:
\( \pi (x\cdot\sin x+y\cdot\sin y)\geq(x+y)^2 \).

[Marius Mainea]

Aplicand inegalitatea rearanjamentelor

\( LHS\ge \frac{\pi}{2}(x+y)(\sin x+\sin y)\ge RHS \)

deoarece

\( \frac{\pi}{2}\sin x\ge x \) pentru orice \( x\in [0,\frac{\pi}{2}] \)

[BogdanCNFB]

Cum demonstram ultima?

[Virgil Nicula]

Consideram functia \( f\equiv\sin\ :\ \left[0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right]\rightarrow \) \( [0\ ,\ 1] \) si fie punctul \( B\ \left(\frac {\pi}{2}\ ,\ 1\right)\in \mathrm{G}_f \) - graficul functiei \( f\ . \)

Deoarece \( \mathrm G_f \) este concav (cum spun unii incorect "nu tine apa" !), ceea ce veti invata riguros in a XI - a,

rezulta in particular ca \( \mathrm{arc}OB \) al lui \( \mathrm G_f \) este situat deasupra corzii \( [OB]\ . \) Ecuatia dreptei \( OB \) este \( y=\frac {2x}{\pi}\ . \)

Asadar, pentru orice \( x\in \left(0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right) \) avem \( \sin x\ >\ \frac {2x}{\pi} \) . In concluzie, \( \underline{\overline{\left\|\ \frac {2x}{\pi}\ <\ \sin x\ <\ x\ ,\ (\forall )\ x\in \left(0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right)\ \right\|}}\ . \)

Asemanator se poate arata (mai general) ca \( \underline{\overline{\left\|\ \frac {x\sin a}{a}\ <\ \sin x\ ,\ (\forall )\ x\in (0\ ,\ a)\subset\left(0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right)\ \right\|}}\ . \)

Mai exact, functia \( \frac {\sin x}{x} \) este strict descrescatoare pe intervalul \( \left(0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right)\ . \) Mai aveti multe de invatat, dragii mei !

Poate cineva ne ajuta printr-un desen care sa ilustreze "demonstratia" de mai sus.