Inegalitate cu sin x
Inegalitate cu sin x
Aratati ca \( |sin\ x|\le |x|\ ,\ (\forall)x \in \mathbb{R} \).
. A snake that slithers on the ground can only dream of flying through the air.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Re: Inegalitate cu sin x
TEORIE. Reamintesc ca lungimea \( \mathrm {arc}AB \) (in sens trigonometric !) al unui cerc \( C(O,R) \) subintins de la centrul \( O \) de un unghi \( 0\le \phi\le 2\pi \) (exprimat in radiani, insasi definitia radianilor !) este data de relatia \( l(\phi)=R\phi \) iar aria sectorului corespunzator este \( S(\phi )=\frac {l(\phi )\cdot R}{2}=\frac {R^2\phi}{2}\ . \) Daca \( R=1 \) , atunci \( l(\phi)=\phi \) (\( \mathrm{arc} \equiv \mathrm {unghi} \)) si \( S(\phi )=\frac {\phi}{2}\ . \)
Acum sa consideram in planul cartezian \( \mathrm {xOy} \) cercul trigonometric \( w=C(O,1) \) (un cerc cu centrul in originea \( O \) , de raza \( 1 \) si multiplu orientat !) , punctul \( A(1,0) \) , un punct \( M\equiv M(x)\in w \) din primul cadran, adica \( M\left(\cos x,\sin x\right) \) , unde \( x=m(\widehat {AOM}) \) si \( 0<x<\frac {\pi}{2} \) , punctul \( C\in OA \) pentru care \( MC\perp OA \) si punctul \( T\in (OM \) pentru care \( TA\perp OA\ . \) Din definitia functiilor trigonometrice fundamentale \( \sin \) , \( \cos \) si \( \tan \) pe primul cadran, avem \( OC=\cos x \) , \( CM=\sin x \) si \( AT=\tan x \ . \) Se observa ca \( l(x)=l\left(\mathrm{arc} AM\right)=x \) si \( CM\ <\ l\left(\mathrm{arc} AM\right) \) , adica \( \sin x<x\ . \) Deoarece aria \( S(x) \) a sectorului definit de \( \mathrm {arc} AM \) este mai mic decat aria triunghiului \( OAT \) se obtine \( \frac {x}{2}<\frac {1\cdot\tan x}{2} \) , adica \( x<\tan x\ . \) In concluzie, \( \overline{\underline{\left\|\ 0<x<\frac {\pi}{2}\ \Longrightarrow\ \sin x\ <\ x\ <\ \tan x\ \right\|}}\ . \)
Revenim la problema propusa.
\( \odot\ \ \)Pentru \( \overline{\underline{\left\|\ x>1\ \right\|}} \) avem \( |\sin x|\le 1<x=|x|\ \Longrightarrow\ |\sin x|<|x|\ . \)
\( \odot\ \ \)Pentru \( \underline{\overline{\left\|\ x\in (0,1]\ \right\|}}\subset \left(0,\frac {\pi}{2}\right) \) avem (vezi mai sus !) \( |\sin x|=\sin x<x=|x| \) , adica \( |\sin x|<|x|\ . \)
\( \odot\ \ \)Pentru \( \underline{\overline{\left\|\ x=0\ \right\|}} \) este evident. Pana aici am aratat ca \( x\ge 0\ \Longrightarrow\ |\sin x|\ \le\ |x|\ . \)
\( \odot\ \ \)Pentru \( \underline{\overline{\left\|\ x\ <\ 0\ \right\|}} \) notam \( y=-x \) , unde \( y>0\ . \) Asadar,
\( |\sin x|=|\sin (-y)|=|-\sin y|=|\sin y|<|y|=|-x|=|x| \) , adica si in acest caz \( |\sin x|<|x| \ . \)
Apropos, cum scriu eu in LaTeX un arc \( AB \) , adica \( AB \) cu un arc deasupra care acopera ambele litere ???? De exemplu ca la un unghi \( \widehat {ABC} \) , insa de data aceasta sa fie deasupra un arc, nu arculet care sa acopere o singura litera.
Acum sa consideram in planul cartezian \( \mathrm {xOy} \) cercul trigonometric \( w=C(O,1) \) (un cerc cu centrul in originea \( O \) , de raza \( 1 \) si multiplu orientat !) , punctul \( A(1,0) \) , un punct \( M\equiv M(x)\in w \) din primul cadran, adica \( M\left(\cos x,\sin x\right) \) , unde \( x=m(\widehat {AOM}) \) si \( 0<x<\frac {\pi}{2} \) , punctul \( C\in OA \) pentru care \( MC\perp OA \) si punctul \( T\in (OM \) pentru care \( TA\perp OA\ . \) Din definitia functiilor trigonometrice fundamentale \( \sin \) , \( \cos \) si \( \tan \) pe primul cadran, avem \( OC=\cos x \) , \( CM=\sin x \) si \( AT=\tan x \ . \) Se observa ca \( l(x)=l\left(\mathrm{arc} AM\right)=x \) si \( CM\ <\ l\left(\mathrm{arc} AM\right) \) , adica \( \sin x<x\ . \) Deoarece aria \( S(x) \) a sectorului definit de \( \mathrm {arc} AM \) este mai mic decat aria triunghiului \( OAT \) se obtine \( \frac {x}{2}<\frac {1\cdot\tan x}{2} \) , adica \( x<\tan x\ . \) In concluzie, \( \overline{\underline{\left\|\ 0<x<\frac {\pi}{2}\ \Longrightarrow\ \sin x\ <\ x\ <\ \tan x\ \right\|}}\ . \)
Revenim la problema propusa.
\( \odot\ \ \)Pentru \( \overline{\underline{\left\|\ x>1\ \right\|}} \) avem \( |\sin x|\le 1<x=|x|\ \Longrightarrow\ |\sin x|<|x|\ . \)
\( \odot\ \ \)Pentru \( \underline{\overline{\left\|\ x\in (0,1]\ \right\|}}\subset \left(0,\frac {\pi}{2}\right) \) avem (vezi mai sus !) \( |\sin x|=\sin x<x=|x| \) , adica \( |\sin x|<|x|\ . \)
\( \odot\ \ \)Pentru \( \underline{\overline{\left\|\ x=0\ \right\|}} \) este evident. Pana aici am aratat ca \( x\ge 0\ \Longrightarrow\ |\sin x|\ \le\ |x|\ . \)
\( \odot\ \ \)Pentru \( \underline{\overline{\left\|\ x\ <\ 0\ \right\|}} \) notam \( y=-x \) , unde \( y>0\ . \) Asadar,
\( |\sin x|=|\sin (-y)|=|-\sin y|=|\sin y|<|y|=|-x|=|x| \) , adica si in acest caz \( |\sin x|<|x| \ . \)
Apropos, cum scriu eu in LaTeX un arc \( AB \) , adica \( AB \) cu un arc deasupra care acopera ambele litere ???? De exemplu ca la un unghi \( \widehat {ABC} \) , insa de data aceasta sa fie deasupra un arc, nu arculet care sa acopere o singura litera.