Limite de siruri egale cu 0 si 1

[Cezar Lupu]

Pentru orice numar natural \( n\geq 2 \) definim sirul \( (x_{n})_{n\geq 2} \) astfel: \( x_{2}>0 \) si \( x_{n}=x_{n+1}(\sqrt[n]{n})^{H_{n}} \), unde \( H_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{n} \).
Sa se demonstreze ca:

i) \( \lim_{n\to\infty} x_{n}=0 \);

ii) \( \lim_{n\to\infty} nx_{n}=0 \);

iii) \( \lim_{n\to\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}\right)^{ln n}=1 \).

Cezar & Tudorel Lupu, R.M.I. C-ta, 2005