OLM Hunedoara 14.02.2009

[Al3xx]

1. a) Fie \( a_1 , a_2 . a_3 , ... , a_n , ... \) termenii pozitivi ai unei progresii aritmetice. Sa se demonstreze inegalitatea :

\( \frac{a_1a_3...a_{2n+1}}{a_2a_4...a_{2n}} \le \sqrt{a_1a_n} \)
b) Determinati \( x,y,z \in R - \{ \frac{\pi}{2} \} \) pentru care

\( 2(tg x + tg y + tg z) \) \( - (tg^2 x + tg^2 y + tg^2 z) \ge 3. \)


2. Rezolvati in \( N \) ecuatia :

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{41} \)

3. a) Demonstrati ca \( [xy] \ge [x] [y] \), oricare ar fi \( x,y \ge 0. \)
b) Fie \( S(n) = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{[sqrt{k^4 + 4k^3 + 5k^2 + 4k + 1}]}, n \in N* \) , unde [k] reprezinta partea intreaga a lui k. Demonstrati ca \( S(n) < 1 \), oricare ar fi \( n \in N* \).

4. Fie triunghiul \( ABC \), punctele \( A^{\prime} \in (BC) \), \( B^{\prime} \in (AC) \), iar \( {P}=AA^{\prime} \cap BB^{\prime} \).
a) Demonstrati ca oricare ar fi punctul M in planul triunghiului \( ABC \) exista \( \alpha,\ \beta,\ \gamma \in (0,1) \) astfel incat \( \vec{MP} = \alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB} + \gamma\vec{MC} \).
b) Aratati ca daca \( \frac{A^{\prime}C}{A^{\prime}B} - \frac{B^{\prime}C}{B^{\prime}A} = 1 \), atunci punctul P este mijlocul segmentului \( (BB^{\prime}). \)