OLM Dambovita 2009, problema 3
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Claudiu Mindrila
- Fermat
- Posts: 520
- Joined: Mon Oct 01, 2007 2:25 pm
- Location: Targoviste
- Contact:
OLM Dambovita 2009, problema 3
Numerele naturale impare consecutive sunt grupate in felul urmator: \( \left\{ 1\right\} ;\left\{ 3,5\right\} ;\left\{ 7,9,11\right\} ;\left\{ 13,15,17,19\right\} ;\ldots \) . Gasiti suma numerelor din a \( n \)-a grupa.
Last edited by Claudiu Mindrila on Mon Feb 16, 2009 11:05 am, edited 1 time in total.
elev, clasa a X-a, C. N. "C-tin Carabella", Targoviste
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
In cele n grupe sunt \( 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \) numere.
In primele n-1 grupe sunt \( \frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2} \) numere.
Suma numerelor din a n-a grupa este suma numerelor din cele n grupe minus suma numerelor din primele n-1 grupe.
Folosim identitatea \( 1+3+5+...+(2k-1)=k^2,(\forall) k\in\mathbb{N^{\ast}} \)
Deci suma numerelor din a n-a grupa va fi \( \frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n^2(n-1)^2}{4}=n^3 \)
In primele n-1 grupe sunt \( \frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2} \) numere.
Suma numerelor din a n-a grupa este suma numerelor din cele n grupe minus suma numerelor din primele n-1 grupe.
Folosim identitatea \( 1+3+5+...+(2k-1)=k^2,(\forall) k\in\mathbb{N^{\ast}} \)
Deci suma numerelor din a n-a grupa va fi \( \frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n^2(n-1)^2}{4}=n^3 \)