O.L.M. - clasa a IX - a , 2009

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Feb 14, 2009 3:01 pm

\( 1.\ \ \ \)Sa se arate ca nu exista \( \left\{a_k\ ,\ b_k\ ,\ c_k\right\}\subset\mathbb{R}\ ,\ \epsilon_k\in\left\{-1,1\right\} \), unde \( k\in\overline {1,n} \) astfel incat

\( \max\ \{a\ ,\ b\ ,\ c\}=a_0x+b_0y+c_0z+\sum_{k=1}^n\epsilon_k\left|a_kx+b_ky+c_kz\right|\ \)

pentru orice\( \ \left\{x\ ,\ y\ ,\ z\right\}\subset\mathbb R\ . \)

\( 2.\ \ \ \)Sa se rezolve in \( \mathbb R \) ecuatia \( 16 \{x\}^2-8x+1=0 \), unde \( \{x\} \) este partea fractionara a lui \( x\ . \)

\( 3.\ \ \ \)Sa se rezolve in \( \mathbb R \) ecuatia \( \left[\frac {2x+1}{5}\right]+\left[\frac {6x+8}{15}\right]+\left[\frac {6x+13}{15}\right]=10 \) , unde \( [x] \) este partea intreaga a lui \( x \).

\( 4.\ \ \ \) In triunghiul ABC consideram punctele \( D\in (AB) \) , \( Q\in (CD) \) , \( E\in BC \) ca \( C\in (BE) \) si pentru care \( \frac {AB}{AD}=\frac {CQ}{QD}=\frac {BE}{BC} \) , punctul \( F \) pentru care \( FD\ \parallel\ BC \), \( FE\ \parallel\ CD \) (adica \( CDEF \) este paralelogram) si un punct \( M\in (DE) \). Sa se arate ca \( M\in QF \ \Longleftrightarrow\ \frac {DE}{DM}=2+\frac {AB}{AD}. \)

Adriana Nistor · Post by **Adriana Nistor** » Sat Feb 14, 2009 7:42 pm

2) Relatia se mai scrie \( (4 \){x}\( -1)^2=8[x] \). Din faptul ca {x}\( \in [0,1) \)=>\( 0\le[x]\le1 \).
Daca [x]=0 => {x}=\( \frac{1}{4} => x=\frac{1}{4} \)
Daca [x]=1 => {x}\( =\frac{2\sqrt{2}+1}{4}=>x=\frac{2\sqrt{2}+5}{4} \).
Deci \( x\in \){\( \frac{1}{4};\frac{2\sqrt{2}+5}{4} \)}.

Adriana Nistor · Post by **Adriana Nistor** » Sat Feb 14, 2009 7:56 pm

3) Vom folosi inegalitatea \( x-1<[x]\le x \) si vom obtine:
\( \frac{18x+24}{15}-3 < [\frac{2x+1}{5}]+[\frac{6x+8}{15}]+[\frac{6x+13}{15}]\le \frac{18x+24}{15} \), deci \( \frac{6x+8}{5}-3<10\le\frac{6x+8}{5} \).
Din \( \frac{6x+8}{5}-3<10 => x<\frac{19}{2} \) iar din \( 10\le\frac{6x+8}{5} => x\ge\frac{7}{6} \).
In concluzie \( x\in [\frac{7}{6},\frac{19}{2}). \)

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Feb 14, 2009 9:07 pm

\( 3.\ \ \ \)Sa se rezolve in \( \mathbb R \) ecuatia \( \left[\frac {2x+1}{5}\right]+\left[\frac {6x+8}{15}\right]+\left[\frac {6x+13}{15}\right]=10 \) , unde \( [x] \) este partea intreaga a lui \( x \).

Pe acest site recent am facut cunostinta cu identitatea Hermite. Problema propusa este o aplicatie imediata a acesteia.

Prin substitutia \( \underline{\overline{\left\|\ y=\frac {6x+3}{15}\ \right\|}} \) ecuatia devine \( [y]+\left[y+\frac 13\right]+\left[y+\frac 23\right]=10\ . \) Insa, in virtutea identitatii mentionate, expresia din membrul stang al acestei ecuatii este egala cu \( [3y]\ . \) In concluzie, \( [3y]=10 \) , adica \( \frac {10}{3}\le y<\frac {11}{3} \), ceea ce inseamna \( \frac {10}{3}\le \frac {2x+1}{5}<\frac {11}{3} \) , adica \( \underline{\overline{\left\|\ x\in\left[\frac {47}{6}\ ,\ \frac {26}{3}\right)\ \right\|}}\ . \) Mi-ar fi placut sa se ceara \( x\in\mathbb Z \) , adica \( x=8\ . \)

Sa vezi atunci ce incercari disperate ar fi fost de a-l gasi pe \( x \) intreg care verifica relatia data ....

Adriana Nistor · Post by **Adriana Nistor** » Sat Feb 14, 2009 9:43 pm

Aveti dreptate. N-am fost atenta... Scuze!

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Feb 14, 2009 10:05 pm

OFF-topic. Nu inteleg de ce iti ceri scuze. A doua problema ai facut-o perfect. Esti tanara, la inceput de drum, din greseli inveti multe, dar asta nu inseamna ca ar fi singura cale de a invata, cum gandesc unii tineri astazi, chiar si unii guvernanti. Eu zic ca am invatat ceva si din greselile tale in sensul ca in evaluarea elevilor mei voi da si astfel de exercitii. In concluzie, n-ar fi rau sa invatam mai multe din greselile altora si mai putin din cele ale noastre.

ON-topic. Dragi useri, va rog sa va aplecati putin asupra acestui enunt, poate astfel imi risipiti o "nedumerire".

\( 4.\ \ \ \) In triunghiul ABC consideram punctele \( D\in (AB) \) , \( Q\in (CD) \) , \( E\in BC \) ca \( C\in (BE) \) si pentru care \( \frac {AB}{AD}=\frac {CQ}{QD}=\frac {BE}{BC} \) , punctul \( F \) pentru care \( FD\ \parallel\ BC \) , \( FE\ \parallel\ CD \) (adica \( CDEF \) este paralelogram) si un punct \( M\in (DE) \). Sa se arate ca \( M\in QF \ \Longleftrightarrow\ \frac {DE}{DM}=2+\frac {AB}{AD} \) .

Sa prezint pentru inceput o problema pe care sa o comparati cu problema de sus, propusa azi la O.L.M., Bucuresti.

\( 4.\ \ \ \) In triunghiul ABC consideram punctele \( D\in (AB) \) , \( Q\in (CD) \) , \( E\in BC \) ca \( C\in (BE) \), punctul \( F \) pentru care \( FD\ \parallel\ BC \) , \( FE\ \parallel\ CD \) (adica \( CDEF \) este paralelogram) si un punct \( M\in (DE) \) . Sa se arate ca \( M\in QF \ \Longleftrightarrow\ \frac {DE}{DM}=2+\frac {CQ}{QD} \) .

Demonstratie.

Notam \( S\in FQ\cap BC \) si \( N\in FQ\cap DE \) . Se observa ca \( \frac {DE}{DN}=\frac {DN+NE}{DN}=1+\frac {NE}{ND}= \)

\( 1+\frac {SE}{DF}=1+\frac {SC+CE}{CE}=2+\frac {SC}{CE}=2+\frac {SC}{DF}=2+\frac {QC}{QD} \) , adica \( \frac {DE}{DN}=2+\frac {QC}{QD} \) . In concluzie, \( M\in QF\ \Longleftrightarrow\ M\equiv N\ \Longleftrightarrow\ \frac {DE}{DM}=\frac {DE}{DN}\ \Longleftrightarrow\ \frac {DE}{DM}=2+\frac {QC}{QD} \) .

Eu nu am inteles rostul acelor trei rapoarte egale din problema propusa. Si asa ipoteza era destul de incarcata. Poate ma lamuriti voi. Este ceva care imi scapa din intentiile autorului. Multumesc.

Si sper sa nu gresesc afirmand ca problema propusa este de manual clasa a VII - a cel mult.