Identitati si ecuatii cu functii trigonometrice inverse

[elena_romina]

Va rog sa ma lamuriti si pe mine cu ceva:

1) Am de aratat urmatoarea egalitate:

\( \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} \).

Am aplicat sinusul in ambii membri si am ajuns la un adevar. Dar acest lucru nu este suficient pentru a demonstra ca \( \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} \), nu? Trebuie sa demonstrez si ca \( \arctan x+\arctan\frac{1}{x} \in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \). Pt ca, de exemplu, daca \( \sin x=\sin y \), asta nu inseamna neaparat ca \( x=y \), pt ca functia \( \sin \) e injectiva doar pe intervalul \( [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \). Si nu stiu cum sa dem ca \( \arctan x+\arctan\frac{1}{x} \in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \)

2) Alta problema:

\( \arccos\frac{x}{2}=2\arctan(x-1) \)

Am pus conditia de existenta si rezulta \( x\in(-2,2) \). Am aplicat cosinusul si am ajuns la \( x_1=\sqrt2,\ x_2=-\sqrt2 \). Acum trebuie sa verific in ecuatia data, daca este adevarat, nu? Tot din aceeasi cauza, pt ca am aplicat cosinusul in ambii membri si ecuatia pe care am obtinut-o poate sa fie sau poate sa nu fie echivalenta cu ecuatia data. Si cum pot sa verific mai usor daca \( \arccos\frac{\sqrt2}{2}=2\arctan(\sqrt2-1) \) si \( \arccos\frac{-\sqrt2}{2}=2\arctan(-\sqrt2-1) \)?

V-as fi recunoscatoare daca mi-ati da o mana de ajutor.
Va multumesc!

[Virgil Nicula]

Mai riguros ar fi astfel :

Am de aratat identitatea \( \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\left\{\begin{array}{ccccc}
-\frac {\pi}{2} & \mathrm {daca} & x & < & 0\\\\
+\frac {\pi}{2} & \mathrm {daca} & x & > & 0\end{array} \) . In exprimare compacta

inseamna \( \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\cdot \mathrm{sign}x\ ,\ x\ne 0 \) unde \( \mathrm {sign} x=\left\{\begin{array}{ccccc}
-1 & \mathrm {daca} & x & < & 0\\\\
0 & \mathrm {daca} & x & = & 0\\\\
1 & \mathrm {daca} & x & > & 0\end{array}\ . \)

Deoarece functia \( f\equiv\arctan \) este impara putem presupune ca \( x\ >\ 0\ . \) In acest caz \( \frac 1x>0 \) si

\( \left\{\arctan x\ ,\ \arctan \frac 1x\ ,\ \frac {\pi}{2}-\arctan \frac 1x\right\}\subset\left(0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right) \) . Deci \( x\ >\ 0\ \Longleftrightarrow\ \arctan x\in \left(0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right) \)

si pentru orice \( \{x\ ,\ y\}\subset \left\(0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right) \) avem \( \tan x=\tan y\ \Longleftrightarrow\ x=y\ . \)

Deci \( \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\ \Longleftrightarrow\ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x}\ \Longleftrightarrow \)

\( \tan (\arctan x)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x}\right)\ \Longleftrightarrow\ x=x \) , ceea ce este adevarat.

[Virgil Nicula]

Sa se rezolve ecuatia \( \arccos\ \frac{x}{2}=2\cdot \arctan\ (x-1) \)

Se observa ca \( \arccos\ \frac{x}{2}=2\cdot \arctan\ (x-1)\in \left[0,\pi \right]\cap\left(-\pi ,\pi\right)=[0,\pi ) \) , adica \( \arctan (x-1)\in \left(0,\frac {\pi}{2}\right) \) ,

ceea ce inseamna ca \( x-1 >0 \) . Deci \( \overline {\underline {\left\|\ x\ >\ 1\ \right\|}}\ . \) De data aceasta avem o ecuatie. Vom folosi formulele

\( \cos 2x=\frac {1-\tan^2x}{1+\tan^2x} \) si \( \tan\frac x2=\frac {\sin x}{1+cos x}=\frac {1-\cos x}{\sin x}\ . \) De exemplu, \( \tan \frac {\pi}{8}=\frac {1-\cos \frac {\pi}{4}}{\sin \frac {\pi}{4}}=\sqrt 2-1\ . \)

Deci \( \tan\frac {\pi}{8}=\sqrt 2-1 \) si \( \tan\frac {3\pi}{8}=\sqrt 2+1 \)(retine !). Asadar \( \arccos\ \frac{x}{2}=\arctan\ (x-1)\ \Longrightarrow \)

\( \cos\left(\arccos\ \frac{x}{2}\right)=\cos \left[2\cdot\arctan\ (x-1)\right]\ \Longleftrightarrow\ \frac x2=\frac {1-(x-1)^2}{1+(x-1)^2}\ \Longleftrightarrow\ x\in\left\{0\ ,\ \pm\sqrt 2\right\} \)

Din faptul ca \( x\ >\ 1 \) rezulta ca singura solutie este \( x=\sqrt 2\ . \) Nu este nevoie sa o mai verifici !

Se puteau verifica aceste trei solutii posibile, insa trebuia sa sti ca \( \tan\frac {\pi}{8}=\sqrt 2-1 \) . De aceea repet.

RETINE ! \( \tan\frac {\pi}{8}=\sqrt 2-1 \) , \( \tan\frac {3\pi}{8}=\sqrt 2+1 \) , \( \tan\frac {\pi}{12}=2-\sqrt 3 \) si \( \tan\frac {5\pi}{12}=2+\sqrt 3\ . \)