Inecuatie functionala

[maxim bogdan]

Aratati ca nu exista functii \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) cu proprietatea ca: \( |f(x)-f(y)|>1,(\forall) x,y\in\mathbb{R},x\neq y. \)

[Marius Mainea]

Aratati ca nu exista functii \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) cu proprietatea ca: \( |f(x)-f(y)|>1,(\forall) x,y\in\mathbb{R},x\neq y. \)

Presupunem ca exista astfel de functii ,f.

Deoarece f este injectiva rezulta \( card\mathbb{R}=cardf(\mathbb{R}) \)

Pe de alta parte deoarece in orice interval [n,n+1), exista cel mult un f(x) deducem ca \( f(\mathbb{R}) \) este cel mult numarabila.

Asadar \( \mathbb{R} \) este cel mult numarabila ceea ce este fals.