max{a,b,c} \ge 1

[Claudiu Mindrila]

Se stie ca numerele reale pozitive \( a,b,c \) au proprietatea ca \( a+b+c=abc+2 \). Demonstrati ca \( \max \{a,b,c} \ge 1. \)
Valentin Vornicu, lista scurta, 2004

[Marius Mainea]

Se stie ca numerele reale pozitive \( a,b,c \) au proprietatea ca \( a+b+c=abc+2 \). Demonstrati ca \( \max \{a,b,c} \ge 1. \)
Valentin Vornicu, lista scurta, 2004

Presupunem prin absurd ca \( a,b,c\in (0,1) \) si notam

\( a=x+1 ,b=y+1 ,c=z+1;x,y,z\in(-1,0) \)

Atunci relatia din enunt devine:

\( x+y+z+3=xyz+xy+yz+zx+x+y+z+3 \) de unde

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-1 \)

ceea ce este o contradictie.