inegalitate triunghi

[gigi.becali]

Aratati ca in orice \( \Delta ABC \) de arie 1 are loc urmatoarea inegalitate:

\( MM_1 \cdot MM_2 \cdot MM_3 \leq \frac{2}{27 \cdot R} \),

unde \( M \) este un punct arbitrar in interiorul triunghiului, \( R \) este raza cercului circumscris triunghiului si \( M_1, M_2, M_3 \) sunt proiectiile punctului \( M \) pe laturile \( BC,CA,AB \).

[Marius Mainea]

\( A[ABC]=\frac{1}{2}(aMM_1+bMM_2+cMM_3)\ge\frac{3}{2}\sqrt[3]{abcMM_1MM_2MM_3} \)

si cum \( A[ABC]=\frac{abc}{4R}=1 \) ridicam la cub si obtinem concluzia problemei.