mateforum.ro

Notam cu \( l \) limita sirului.(\( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) este strict crescator).Din relatia \( x_{n+1}=x_n+e^{-x_n} \) se obtine ca \( l=l+\lim(e^{-x_n}) \Rightarrow \lim (e^{-x_n})=0 \Rightarrow -x_n\rightarrow -\infty\Rightarrow x_n\rightarrow\infty\Rightarrow l=+\infty \)

Si cum se demonstreaza ca sunt solutii unice?

Reciproc,daca stim ca \( a,b,c \) sunt afixele varfuriloe unui triunghi echilateral,atunci putem considera \( a=r,b=r\epsilon,c=r\epsilon^2 \),unde \( \epsilon \) e radacina nereala de ordinul 3 a unitatii. \( a+b+c=r(1+\epsilon+\epsilon^2)=0 \).De aici,prin calcul,reciproca se demonstreaza usor.

|ka+b+c|=|a+kb+c|=|a+b+kc| <=> |(a+b+c)+(k-1)a|^2=|(a+b+c)+(k-1)b|^2=|(a+b+c)+(k-1)c|^2 (1) Sa notam a+b+c=s Relatia (1) devine: |s+(k-1)a|^2=|s+(k-1)b|^2=|s+(k-1)c|^2<=>|s|^2+|k-1|^2|a|^2+(k-1)\overline{s}a+(k-1)s\overline{a}=|s|^2+|k-1|^2|b|^2+(k-1)\overline{s}b+(k-1)s\overline{b}=|s|^2+|k-1|^2|c...

Mult succes tuturor!

\frac{BD}{CD}=\frac{c}{b}\Rightarrow\frac{BD}{a}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow BD=\frac{ac}{b+c} ; \frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}\Rightarrow\frac{AI}{AD}=\frac{b+c}{a+b+c} \Rightarrow{AI}=\frac{bc(b+c-a)}{a+b+c} .De aici,tinand cont ca a^2=b^2+c^2 se arata prin calcul ca IA^2=(a-b)(a-c) Analog BI^2=\frac{a...

\lim_{n\rightarrow\infty}[a\ln(3+n)+b\ln(n+2)+c\ln(n+1)]=\lim_{n\rightarrow\infty}[a\ln(1+\frac{3}{n})+b\ln(1+\frac{2}{n})+c\ln(1+\frac{1}{n})+a\ln{n}+b\ln{n}+c\ln{n}]=\lim_{n\rightarrow\infty}[a\frac{3}{n}+b\frac{2}{n}+c\frac{1}{n}+(a+b+c)\ln{n}]=\lim_{n\rightarrow\infty}[(a+b+c)\ln{n}] \lim_{n\ri...

Da,asa e

de ce?

SUBIECTUL I

\( 16^x+2^{\frac{1}{x}}\ge4 \)(AM-GM)
\( 16^y+2^{\frac{1}{y}}\ge4 \)(AM-GM)
\( \Rightarrow 16^x+16^y+2^{\frac{1}{x}}+2^{\frac{1}{y}}\ge8 \)
dar \( 16^x+16^y+2^{\frac{1}{x}}+2^{\frac{1}{y}}=8 \)\( \Rightarrow 4x=\frac{1}{x} \) si \( 4y=\frac{1}{y} \),deci \( x,y\in\{\frac{-1}{2},\frac{1}{2}\} \)

Pentru putin!

Buna ziua,domnule profesor! Din cate imi amintesc eu la nivelul clasei relatiile pentru bisectoare si mediana apar abia in clasa a IX-a.Pentru olimpiada insa,de obicei,profesorii le prezinta si la clasele VII-VIII.

\( m_{a}^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}\ge\frac{(b+c)^2-a^2}{4}=\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4}=s(s-a) \)
\( l_{a}^2=\frac{4bc}{(b+c)^2}s(s-a)\le s(s-a) \)

Stie cineva daca se mai tine concursul "Tmmate"? Anul trecut au organizat chiar o faza internationala,dar anul acesta nu mai anunta nici concursul interjudetean...

Solutia 3: (a-d)(b-d)(c-d)=(ab-ad-bd+d^2)(c-d)=abc-acd-bcd+cd^2-abd+ad^2+bd^2-d^3= abc-d(ab+bc+ca)+d^2(a+b+c)-d^3=abc-d(ab+bc+ca)+d^3-d^3=abc-d(ab+bc+ca) (1) Fie r\in\mathbb{R} astfel incat |a|=|b|=c|=|d|=r . Din a+b+c=d\Right \frac{r^2}{a}+\frac{r^2}{b}+\frac{r^2}{c}=\frac{r^2}{d}\Right \frac{1}{a...

Se considera sirul \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) definit prin \( x_1=3 \) si \( x_{n+1}=\[\sqrt{2}x_n\] \) pentru \( n\ge1 \). Sa se determine toate valorile lui \( n \) pentru care \( x_n,\ x_{n+1},\ x_{n+2} \) sunt in progresie aritmetica.

Sa se arate ca daca \( \mathbb{N}* \) se scrie ca reuniune de \( n \) progresii aritmetice disjuncte \( P_{i} \), atunci \( \sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{r_{i}}=\frac{n+1}{2} \),unde \( a_{i} \) este primul termen, iar \( r_{i} \) ratia progresiei \( P_{i} \).