mateforum.ro

Sa se arate ca in orice triunghi are loc inegalitatea:\( \frac{sqrt{r_br_c}}{a}+\frac{sqrt{r_cr_a}}{b}+\frac{sqrt{r_ar_b}}{c}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}. \)

Nica Nicolae

Celelalte inegalitati se rezolva folosind inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica ( inegalitatea 2) sau inegalitatea:\( \(a+b+c)^2\geq\3(ab+ac+bc) \) sau inca \( 3(a^2+b^2+c^2)\geq\(a+b+c)^2 \) (inegalitatea 3)

Interesant...Prima inegalitate se reduce la o cunoscuta inegalitate, si anume: \( \frac{3}{2}\geq \cos A+\cos B+\cos C \).

Avem: \sum\frac {a}{b^2+c^2-a^2}=\frac{1}{2abc}\sum\frac{a}{cosA}.a si aplicand Cebisev, obtinem: LHS\geq\frac{a+b+c}{3\cdot\2abc}\sum\frac{a}{cosA}=\frac{a+b+c}{3}\sum\frac{1}{2bc\cdot\ cosA}=\frac{a+b+c}{3}\sum\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\geq RHS . Am folosit inegalitatea : \sum\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\geq\...

Aceasta problema mai apare, sub o forma echivalenta, in revista Mathematical Reflections, nr. 4/2008 (problema O91), propusa de dl Profesor Mircea Becheanu. Ce sa zic...gand la gand cu bucurii...

Ar fi fost interesanta la aceasta problema urmatoarea proprietate: Daca T este centrul de greutate in triunghiul PBC si ortocentru in triunghiul ABC, este T centrul cercului inscris in triunghiul QBC? Din pacate aceasta proprietate nu este adevarata....problema ar fi fost prea frumoasa...

Sa se arate ca in orice triunghi, exista o alegere a medianei, bisectoarei (interioare) si inaltimii, duse din varfuri diferite (ex. mediana din A bisectoarea din B si inaltimea din C) , astfel incat cu cele 3 segmente sa se poata forma un triunghi.

Sa se arate ca in orice triunghi are loc inegalitatea: \( \frac{a^2+b^2+c^2} {2pr}\geq\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\geq\frac{a^2+b^2+c^2}{Rp} \)

Sa se arate ca in orice triunghi are loc inegalitatea: \( R+r\geq\frac{\ r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}{r_a+r_b+r_c} \)

Sa se arate ca in orice triunghi are loc inegalitatea: \( R+r\geq\sqrt[3]{r_ar_br_c} \) , notatiile sunt cele cunoscute.

La adresa www.gigapedia.com puteti gasi foarte multe carti gratis... (1Gb/zi puteti descarca...) Pentru a putea descarca trebuie sa va inregistrati. Mult succes!

Pentru a rezolva aceasta problema este necesara urmatoarea Lema Intr-un triunghi oarecare, bisectoarea unghiului A este inclusa in interiorul unghiului format de inaltimea si mediana corespunzatoare varfului A. Sa trecem la rezolvarea problemei. Pentru aceasta consideram functia f:[AP]\to \mathbb{R}...

Sa se arate ca intr-un triunghi ascutitunghic are loc inegalitatea: \( \frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}\ +\frac{1}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}\ +\frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}\geq\frac{1}{4r^{2}} \)

Inegalitatea data, desi mai tare decat inegalitatea \( \ h_{a}\ + \ h_{b}\ + \ h_{c} \geq\ 9r \), este totusi usoara. Dupa calcule se obtine inegalitatea dintre media geometrica si cea armonica.

Sa se arate ca intr-un triunghi oarecare exista inegalitatea: \( (h_{a}\ +\ h_{b}\ +\ h_{c})(\frac {1}{h_{a}}\ +\ \frac {1}{h_{b}}\ +\ \frac {1}{h_{c}})\geq\frac {3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}. \)

Se considera dreptele coplanare d_1 si d_2 si punctele B,C\in d_1 , A\in d_2 , M mijlocul lui BC , A^{\prime} proiectia lui A pe dreapta d_1 iar P\in d_2 cu proprietatea ca punctul T=\ PM\cap AA^{\prime} se afla in acelasi semiplan cu punctul A fata de dreapta d_1 . Sa se arate ca exista si este uni...