mateforum.ro

Liceul International de Informatica Bucuresti impreuna cu studentii Universitatii Politehnice Bucuresti si Universitatii Bucuresti va invita la cea de a III-a editie a Concursului National de Matematica “Stelele Matematicii” ce se va desfasura in data de 14 Decembrie 2009 la ora 9:00 in noul campus ...

Haideti sa fim seriosi, fara suparare dar la clasa a 10a cel putin toate subiectele erau de clasa. Nu se poate uita sensul cuvantului olimpiada. Nu strica macar o problema mai grea si mai frumoasa ...

Sol 1: Din medii avem \sqrt[n+1]{a_n^n} \leq \frac{(n-1)\cdot a_n + 2\cdot \sqrt{a_n}}{n+1} \leq a_n+a_n + \frac{1}{(n+1)^2} . Sol 2: Daca a_n \geq \frac {1}{2^{n+1}} atunci \sqrt[n+1]{a_n^n} \leq \frac{1}{2^n} , daca nu atunci \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_n}} \leq 2\cdot a_n ; astfel seria mare se imparte...

Sa se dea exemplu de sir \( (x_n) \) de nr. reale strict pozitive astfel incat seria \( \sum_{n=0}^{\infty}x_n \cdot x_{n+1} \) e convergenta si seria \( \sum_{n=0}^{\infty}x_n^2 \) e divergenta.

Sa se dea exemplu de sir de functii \( (f_n) \) integrabile Riemann ce converg uniform la o functie \( f \) neintegrabila Riemann.

Fie \( A \in R^{nm} \). Sa se arate ca \( R^n=Im(A) \bigoplus Ker(A^t) \).

Se observa ca este suficient sa se arate ca daca \( A^t \cdot A \cdot X=0 \), atunci si \( A \cdot X=0 \), unde X este un vector din \( R^m \).

Fie un patrat 1997x1997 din care se scoate la intamplare un patrat 1x1. Se poate acoperi suprafata ramasa cu piese de forma :

???

Sa se arate ca sirul {\( 2^n-3 \)} contine o infinitate de termeni primi intre ei doi cate doi.

Fie \( a_1, a_2, ... a_n \) numere reale cu
\( a_1+a_2+....a_n \geq \sqrt{(n-1)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)} \).
Sa se arate ca toate numerele sunt mai mari strict decat 0

Fie n un nr natural cu 16 divizori: \( 1=d_1 < d_2 <.... <d_{16}=n \) astfel incat \( d_6=18 \)si \( d_9-d_8=17 \). Sa se afle n

Sa se arate ca exista o infinitate de numere Fibonacci divizibile cu un n dat.

Sa se rezolve ecuatia in N:
\( n=d(n)^2 \), unde d(n) este nr de divizori ai lui n.

Sa se arate ca intre orice 2n+1 numere reale din \( (1, 2^n) \) se pot gasi 3 care sa fie lungimile laturilor unui triunghi, iar daca sunt 4n+1 numere atunci triunghiul este si ascutitunghic.

Sa se arate ca intre oricare 39 numere consecutive se poate gasi unul cu suma cifrelor divizibila cu 11. Generalizare...

Fie triunghiul ABC si D, E , F pe laturile (BC), (AC) si (AB) astfel incat patrulaterul \( AEDF \) sa fie inscriptibil. Sa se arate ca
\( \frac{4S_{DEF}}{S_{ABC}} \leq \frac{EF^2}{AD^2} \)