Sa se arate ca sirul \( a_{n}=\{n\sqrt{2}\}+\{n\sqrt{3\} \) este divergent, unde \( \{x\} \) reprezinta partea fractionara a numarului real \( x \).
Alin Galatan, Cezar Lupu, lista scurta ONM 2007
Sirul {n\sqrt2}+{n\sqrt3} este divergent
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Sirul {n\sqrt2}+{n\sqrt3} este divergent
Last edited by Cezar Lupu on Thu Feb 28, 2008 4:28 pm, edited 3 times in total.
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Radu Titiu
- Thales
- Posts: 155
- Joined: Fri Sep 28, 2007 5:05 pm
- Location: Mures \Bucuresti
Deoarece \( \{a\}+\{b\}-\{a+b\} \in \{0,1\} \) pentru a, b reale, rezulta ca
\( \{n\sqrt{2}\}+\{n\sqrt{3}\}=\{n(\sqrt{2}+\sqrt{3})\}+c \) unde c e ori 0 ori 1.
Deoarece sirul \( \{n(\sqrt{2}+\sqrt{3})\} \) este dens in intervalul [0,1] (Teorema lui Kronecker) rezulta ca e divergent. Acea constanta "c" nu afecteaza cu nimic rezultatul.
\( \{n\sqrt{2}\}+\{n\sqrt{3}\}=\{n(\sqrt{2}+\sqrt{3})\}+c \) unde c e ori 0 ori 1.
Deoarece sirul \( \{n(\sqrt{2}+\sqrt{3})\} \) este dens in intervalul [0,1] (Teorema lui Kronecker) rezulta ca e divergent. Acea constanta "c" nu afecteaza cu nimic rezultatul.
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.