Problema 2 - Danube 2007

Madalina · Post by **Madalina** » Sat Dec 08, 2007 6:32 pm

Fie ABCD un patrulater inscriptibil, E mijlocul diagonalei BD si C1, C2, C3, C4 cercurile circumscrise triunghiurilor AEB, BEC, CED, respectiv DEA. Sa se arate ca, daca C4 este tangent la dreapta CD, atunci C1, C2, C3 sunt respectiv tangente la dreptele BC, AB, AD.

Andrei Ciupan · Post by **Andrei Ciupan** » Sat Dec 08, 2007 10:23 pm

Hint: Printr-o inversiune de pol \( D \) iese un paralelogram \( DA\prime \)\( E\prime \) \( C\prime \), cu \( B\prime \) mijlocul segmentului \( DE\prime \)...

maky · Post by **maky** » Sun Dec 09, 2007 1:47 am

Fie \( X \) conjugatul armonic al lui \( P \) (intersectia diagonalelor). Conditia din ipoteza e echivalenta cu \( AP \) simediana. Atunci \( XA \) e tangenta la cercul \( \mathcal{C}_{ABCD} \) (chestie cunoscuta) si deci polara lui \( X \) e \( AC \). In concluzie, polara lui \( AC \) e pe \( BD \), asadar \( ABCD \) armonic, si de aici rezulta ca diagonalele sunt simediane, deci toate cercurile alea sunt tangente la laturile corespunzatoare.