mateforum.ro

Fie multimile:
\( A=\{\frac{a}{2}+\frac{b}{3}| a,b\in \mathb{N}, 1\le a\le 2009, 1\le b\le 2009\} \),
\( B=\{\frac{d}{4}+\frac{c}{5}|c, d\in \mathb{N}, 1\le c\le 2009, 1\le d\le 2009\} \).
Sa se determine numarul elementelor multimii \( A\cap B \).
Romeo Ilie

in rezolvarea data in culegerea de probleme (editura paralela 45) se fac niste observatii si presupuneri foarte subtile si greu de inteles ,de aceea eu propun rezolvarea folosind metoda "coborarii finite"; astfel
se egaleaza cele 2 expresii , se aduce la acelasi numitor si se obtine
30a +20b = 15d+12c si apoi rezulta c = 5x deci "se coboara " c
inlocuim si apoi se coboara b cu b= 3y apoi d= 2z si in final cazul1)a = 2t si z = 2k
si cazul 2) a= 2t+1 si z = 2k+1
cazul 1) da 992 elemente si cazul 2) da tot 992 elemente
Deci raspunsul la problema este 1984.