Conc. nat. "Laurentiu Duican" Brasov 2009 probl. 1

[Andi Brojbeanu]

Fie multimile:
\( A=\{\frac{a}{2}+\frac{b}{3}| a,b\in \mathb{N}, 1\le a\le 2009, 1\le b\le 2009\} \),
\( B=\{\frac{d}{4}+\frac{c}{5}|c, d\in \mathb{N}, 1\le c\le 2009, 1\le d\le 2009\} \).
Sa se determine numarul elementelor multimii \( A\cap B \).
Romeo Ilie

[moldovan ana]

in rezolvarea data in culegerea de probleme (editura paralela 45) se fac niste observatii si presupuneri foarte subtile si greu de inteles ,de aceea eu propun rezolvarea folosind metoda "coborarii finite"; astfel
se egaleaza cele 2 expresii , se aduce la acelasi numitor si se obtine
30a +20b = 15d+12c si apoi rezulta c = 5x deci "se coboara " c
inlocuim si apoi se coboara b cu b= 3y apoi d= 2z si in final cazul1)a = 2t si z = 2k
si cazul 2) a= 2t+1 si z = 2k+1
cazul 1) da 992 elemente si cazul 2) da tot 992 elemente
Deci raspunsul la problema este 1984.