Daca \( A,B\in M_2(\mathbb{C}) \) si \( \det A=\det B=1 \) sa se demonstreze echivalenta :
\( (AB-BA)^2=O_2 \)\( \Leftrightarrow A^2+B^2=A^{-1}BAB+B^{-1}ABA. \)
Mihai Opincariu
Relatii matriceale echivalente
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opincariumihai
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Relatii matriceale echivalente
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Marius Mainea
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Folosind Hamilton-Cayley,
\( A^2-\tr(A)A+I_2=O_2 \) si \( B^2-\tr(B)B+I_2=O_2 \),
de unde
\( A^{-1}=\tr(A)I_2-A \) si \( B^{-1}=\tr(B)I_2-B \)
Atunci \( (AB-BA)^2=O_2 \) \( \Longleftrightarrow \) \( (AB)^2+(BA)^2-AB^2A-BA^2B=O_2 \) \( \Longleftrightarrow \) \( (AB)^2+(BA)^2-A[\tr(B)B-I_2]A-B[\tr(A)A-I_2]B=O_2 \) (*)
Deasemenea a doua relatie
\( A^2+B^2=A^{-1}BAB+B^{-1}ABA \)
este echivalenta cu
\( A^2+B^2=[\tr(A)I_2-A]BAB+[\tr(B)I_2-B]ABA \) (**)
Relatiile (*) si (**) sunt echivalente si problema este rezolvata.
\( A^2-\tr(A)A+I_2=O_2 \) si \( B^2-\tr(B)B+I_2=O_2 \),
de unde
\( A^{-1}=\tr(A)I_2-A \) si \( B^{-1}=\tr(B)I_2-B \)
Atunci \( (AB-BA)^2=O_2 \) \( \Longleftrightarrow \) \( (AB)^2+(BA)^2-AB^2A-BA^2B=O_2 \) \( \Longleftrightarrow \) \( (AB)^2+(BA)^2-A[\tr(B)B-I_2]A-B[\tr(A)A-I_2]B=O_2 \) (*)
Deasemenea a doua relatie
\( A^2+B^2=A^{-1}BAB+B^{-1}ABA \)
este echivalenta cu
\( A^2+B^2=[\tr(A)I_2-A]BAB+[\tr(B)I_2-B]ABA \) (**)
Relatiile (*) si (**) sunt echivalente si problema este rezolvata.