Numarul automorfismelor este par

[opincariumihai]

1. Fie G un grup abelian finit si H un subgrup al sau diferit de {e}.
a) Daca exista un x din H astfel incat \( x^2\neq e \), atunci numarul endomorfismelor lui G care au proprietatea ca \( f(H)=H \) este par.
b) Deduceti din a) ca daca exista un x din G astfel incat \( x^2\neq e \), atunci numarul automorfismelor lui G este par.

M. Andronache, OJM Bucuresti 1991

[Marius Mainea]

a) Fie \( (G,\cdot) \) grupul din enunt.
Daca \( f:G\rightarrow G \) este un endomorfism al lui \( G \) cu f(H)=H, atunci \( g:G\rightarrow G \) definit prin \( g(x)=f(x^{-1}) \) este endomorfism al lui G si \( g(H)=H \).

Avem \( f\neq g \), altfel, daca \( x\in H \) este astfel incat \( x^2\neq e \), \( f(x)=g(x)=f(x^{-1}) \), deci \( f(x^2)=e \) si atunci \( x^2=e \) (deoarece \( f_{|H}:H\rightarrow H \) este o functie surjectiva, deci injectiva).

Bineinteles ca se contrazice ipoteza, deci endomorfismele lui G care invariaza pe H pot fi scrise sub forma \( \bigcup_{f\in H}\{f,g} \), deci numarul lor este par.

b) Se aplica punctul a) luind H=G si tinand cont ca endomorfismele lui G cu f(G)=G sunt automorfisme.