Teorema lui Gergonne

[Andi Brojbeanu]

Pe laturile unui triunghi \( ABC \) se considera punctle \( A^\prim, B^\prim, C^\prim (A^\prim\in [BC], B^\prim\in AC], C^\prim\in [AB]) \) astfel incat dreptele \( AA^\prim, BB^\prim, CC^\prim \) sunt concurente. Fie \( \{P\}=AA^\prim\cap BB^\prim\cap CC^\prim \). Atunci este advarata relatia: \( \frac{A^\prim P}{AA^\prim}+\frac{B^\prim P}{B^\prim B}+\frac{C^\prim P}{C^\prim C}=1 \).

[Andi Brojbeanu]

Din egalitatea \( \sigma [PAB] + \sigma [PAC] + \sigma [PBC] = \sigma [ABC] \), se obtine \( \frac{\sigma [PAB]}{\sigma [ABC]} + \frac{\sigma [PAC]}{\sigma [ABC]} + \frac{\sigma [PBC]}{\sigma [ABC]}=1 \) sau \( \frac{d_1}{h_1}+\frac{d_2}{h_2}+\frac{d_3}{h_3}=1 \), unde \( h_1, h_2, h_3 \) sunt inaltimile triunghiului, iar \( d_1, d_2, d_3 \) sunt distantele punctului \( P \) la laturile corespunzatoare
(\( h_1=AA_1, d_1=PP_1 \) etc.). Deoarece \( \frac{d_1}{h_1}=\frac{A\prim P}{A\prim A} \) etc. rezulta:
\( \frac{A^\prim P}{AA^\prim}+\frac{B^\prim P}{B^\prim B}+\frac{C^\prim P}{C^\prim C}=1 \)(Relatia lui Gergonne).