Ecuatia claselor

[Alex Dura]

Daca \( (G,\,\cdot) \) este un grup finit, atunci \( |G|= |Z(G)| + \displaystyle\sum_{x\in R} {\left[G:C_{G}(x)\right]} \), unde \( R\subset G-Z(G) \).
(Ar fi interesanta o demonstratie la nivelul clasei a XII-a.)

[Dragos Fratila]

Demonstratia pe care o stiu eu e cu actiuni, nu stiu alta , desi as putea mima actiuni fara sa vorbesc despre ele cred ca cel mai bine ar fi sa spargem gheata, intr-a 12-a e bine sa inveti actiuni pt ca sunt folositoare si faine.

Introduc niste definitii initial iar la sfarsit o sa mai fac vreo cateva aplicatii (daca am timp seara asta, altfel in zilele urmatoare):

Fie M multime (cheala, fara nimic pe ea) si G un grup. Atunci o aplicatie
\( \rho:G\times M\to M \) se numeste actiune la stanga a grupului G pe multimea M daca:
1) \( \rho(e,m)=m,\forall m\in M \).
2) \( \rho(g,\rho(h,m))=\rho(gh,m),\forall g,h\in G,m\in M \).
O sa notez, pentru usurinta \( \rho(g,m)=g\cdot m \). Cele doua conditii se rescriu atunci asa:
1')\( e\cdot m=m,\forall m\in M \)
2')\( g\cdot(h\cdot m)=(gh)\cdot m, \forall m\in M, g,h\in G \).

Definitia 1: \( \cal{O}(m):=\{g\cdot m | g\in G\} \) se numeste orbita elementului m sub actiunea lui G.
Definitia 2: \( Stab_G(m):=\{g\in G|g\cdot m=m\} \) se numeste stabilizatorul lui \( m \) sub actiunea lui \( G \).
Definitia 3: \( Fix_G(M):=\{m\in M | g\cdot m=m,\forall g\in G\}=\{m\in M | Stab_G(m)=G\} \).

Lema1. \( Stab_G(m) \) este grup pentru orice \( m\in M \).
Dem. Exercitiu!

De acum incolo G va fi un grup finit.

Lema2. \( |\cal{O}(m)|=[G:Stab_G(m)] \).
Dem. Construim o functie \( f: (G/Stab_G(m))_s\to \cal{O}(m) \) care vom demonstra ca e bijectie.
O definim astfel: \( f(gStab_G(m)):=g\cdot m \).
Trebuie sa demonstram ca e bine definita, i.e. adica nu conteaza ce element g alegem care sa reprezinte clasa de echivalenta rezultatul ramane acelasi:
Fie \( g_1,g_2 \) astfel incat \( g_1Stab_G(m)=g_2Stab_G(m)\Rightarrow g_1^{-1}g_2\in Stab_G(m)\stackrel{\textrm{ din def }}{\Rightarrow}(g^{-1}g_2)\cdot m=m \)
\( \Rightarrow g_1\cdot((g^{-1}g_2)\cdot m)=g_1\cdot m\Rightarrow g_2\cdot m=g_1\cdot m \) ceea ce arata ca functia este bine definita.
Pentru a demonstra injectivitatea se intorc sagetile la demonstratia pt bine definire.
Am demonstrat asadar ca \( f \) este bijectiva de unde concluzia lemei.

Lema3. Daca \( m_1,m_2\in M \) si \( \cal{O}(m_1)\cap\cal{O}(m_2)\neq\emptyset \) atunci \( \cal{O}(m_1)=\cal{O}(m_2) \)
dem. exercitiu!
---------------------------------------------------------------

Propozitie.(Ecuatia claselor):
\( |M|=|Fix_G(M)|+\sum_{m\in R}[G:Stab_G(m)] \),
unde \( R \) reprezinta un sistem de reprezentanti pentru elementele din M care nu au orbita triviala (adica alea care nu sunt in \( Fix_G(M) \). Ce inseamna asta? Pai simplu, ne uitam la toate orbitele elementelor din M, unele s-ar putea sa fie egale, o consideram doar una in acest caz, si din fiecare astfel de orbita luam un element. Formal:
Daca \( \cal{O}(m_1),\cal{O}(m_2),...,\cal{O}(m_r) \) sunt toate orbitele netriviale, diferite doua cate doua, atunci un sistem de reprezentanti va insemna sa alegem cate un element din fiecare orbita.

dem.
Este clar din Lema3 (se poate proceda algoritmic) ca exista \( m_1,m_2,\ldots,m_r\in M \) astfel incat \( Fix_G(M)\cup \bigcup_{i=1}^r\cal{O}(m_i)=M \) unde orbitele ce apar in reuniune sunt disjuncte doua cate doua si netriviale (adica au mai mult de un element).

Observatie: Niciun element dintr-o orbita netriviala nu se afla in \( Fix_G(M) \).
Acum trecand la cardinale obtinem: \( |M|=|Fix_G(M)|+\sum_{i=1}^r|\cal{O}(m_i)| \) iar din Lema 2 rezulta concluzia propozitiei.

----------------------------------------------------------------------------


Aplicatie1:
\( |G|=|Z(g)|+\sum_{g\in R}[G:C(g)] \)
dem
Consideram acuma \( M=G \) si actiunea lui \( G \) pe \( M \) ca fiind actiunea prin conjugare, i.e. \( g\cdot m=gmg^{-1} \) (am folosit faptul ca \( m \) si \( g \) se pot inmulti conform inmultirii din grupul \( G \)).
Sa vedem ce inseamna de fapt \( Fix_G(M) \).
Din definitie rezulta \( Fix_G(M)=\{m\in M| gmg^{-1}=m,\forall g\in G\}=Z(G) \).

Observam (conform definitiilor) ca \( Stab_G(m)=C(m) \), centralizatorul lui m in G.

Acum se foloseste ecuatia claselor si ta da

Aplicatie2:
Daca \( H<G \) atunci demonstrati ca G actioneaza prin inmultirea la stanga pe multimea \( (G/H)_s \)

Corolar: Daca \( H<G,[G:H]=n \) atunci exista un morfism de grupuri \( \rho:G\to S_n \) cu \( \ker\rho\le H \).
Acest morfism se numeste reprezentarea lui G pe multimea claselor \( (G/H)_s \).

Corolar: Daca G grup finit si \( H<G, [G:H]=p, p \) cel mai mic prim care divide pe \( |G| \) atunci H este normal in G.

Aplicatie3:
Daca \( H<G \) demonstrati ca G actioneaza prin conjugare pe multimea conjugatilor lui H(i.e. \( \{gHg^{-1}|g\in G\} \)).

Corolar: \( H<G, [G:N_G(H)]=n \) atunci exista un morfism de grupuri \( \rho:G\to S_n \) cu \( \ker(\rho)\subset N_G(H) \)
Am notat prin \( N_G(H) \) normalizatorul lui H in G, i.e. cel mai mare subgrup al lui G in care H este normal.

Aplicatie 4 Daca G este un p-grup (un grup care are ordinul o putere a lui p, sau echivalent in care orice element are ordinul o putere a lui p) finit atunci are centrul netrivial.
dem
Scriem ecuatia claselor pentru actiunea lui G pe G prin conjugare (am definit-o mai sus) si obtinem:
\( |G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^r[G:Stab_G{m_i] \)
DAR, termenii \( [G:Stab_G(m_i) \) sunt puteri netriviale ale lui p si reducand ecuatia de mai sus modulo p obtinem ca \( |Z(G)|=0 \)(mod p) si cum Z(G) nu este NULA (ca deh, elementul neutru e in centru mereu) rezulta ca are cel putin p elemente, deci nu este trivial.

Mai revin cand am timp si cu alte aplicatii, poate si cateva de combinatorica. (de ex, daca ai un lant din 20 de margele si le poti colora in 2 culori diferite, cate lanturi de margele diferite obtii? [se considera ca doua colorari sunt 'la fel' daca rotind lantul de margele corespunzator ele devin identice]).