Sir definit integral

[Bogdan Posa]

Fie \( f: (0 , \infty)\to\mathbb{R} \) o functie continua cu proprietatile
\( \lim_{x\to\infty}f(x)=0 \) si \( \lim_{x\to 0, x>0}xf(x) \) exista si este finita.
Aratati ca sirul
\( a_{n}=\frac{1}{n} \int_{\frac{1}{n}}^{n}f(x)dx \) este convergent la 0 .

[Marius Mainea]

Aplicad lema Cesaro-Stolz

\( \lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}(\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)dx+\int_n^{n+1}f(x)dx)=0+0=0 \)

deoarece \( x\longrightarrow xf(x) \) este marginita pe orice vecinatate a originii si datorita teoremei de medie pe [n,n+1]

\( |\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)dx|=|\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}xf(x)\cdot\frac{1}{x}dx|\le m|\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\frac{1}{x}dx|\rightarrow 0,\ (n\to \infty) \)

\( \int_n^{n+1}f(x)dx=f(c_n)\rightarrow 0,\ (n\to \infty) \)

[Bogdan Posa]

Din \( \lim_{x\to 0, x>0}xf(x) \) exista si este finita obtinem
\( |f(x)| \le \frac{M}{x} \) . Daca introducem integrala \( \int_{\frac{1}{n}}^n \) in aceasta relatie obtinem cerinta.
Unde gresesc ?

[Marius Dragoi]

Pai daca aplici criteriul cu epsilon merge , cel putin mie asa mi-a dat...

[Cezar Lupu]

Solutie alternativa.

Din faptul ca exista \( \lim_{x\to 0, x>0} xf(x)=l\in\mathbb{R} \) rezulta ca
\( \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)=l\in\mathbb{R} \), deci \( \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right)=0 \).
Acum, aplicand lema Cesaro-Stolz sirului nostru, vom avea ca

\( \lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{\int_{1/n+1}^{n+1}f(x)dx-\int_{1/n}^{n}f(x)dx}{(n+1)-n}=\lim_{n\to\infty}\left(\int_{1/n+1}^{1/n}f(x)dx+\int_{n}^{n+1}f(x)dx\right) \).

Acum, aplicand teorema de medie, vom avea ca exista \( c_{n}\in[n, n+1] \), astfel incat

\( \int_{n}^{n+1}f(x)dx=f(c_{n})\to 0 \) atunci cand \( c_{n}\to\infty \).

Mai departe, cu schimbarea de variabila \( x\to\frac{1}{x} \), vom avea ca

\( \int_{1/n+1}^{1/n}f(x)dx=\int_{n}^{n+1}f\left(\frac{1}{x}\right)d\frac{1}{x}=-\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right)dx. \)

Acum , aplicand in nou teorema de medie, vom avea ca exista \( d_{n}\in [n, n+1] \) astfel incat

\( \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x^2}f(x)dx=\frac{1}{d_{n}^{2}}f(d_{n})\to 0 \), atunci cand \( d_{n}\to\infty \).
Prin urmare limitele celor doua integrale sunt \( 0 \), deci sirul nostru \( a_{n} \) converge la zero. \( \qed \)