Functie constanta

[bogdanl_yex]

Fie \( f:[0,1] \rightarrow R \) o functie integrabila cu proprietatea ca pentru orice \( x \in [0,1) \) avem:

\( \lim_{n\to\infty}{n \cdot \int_{x}^{x+\frac{1}{n}}{f(t)}dt}=0. \)

Demonstrati ca pentru orice \( a,b \in (0,1) \) avem:

\( \int_{a}^{b}{f(t)}dt=0. \)

Cristinel Mortici, SHORTLIST ONM 2008

[aleph]

Este un exemplu tipic de problemă cu soluţie simplă "ddacă" rezolvitorul are cunoştinţe în afara programei. Nu cred că ar trebui încurajată proliferarea unor astfel de probleme.

[Marius Dragoi]

Deoarece \( f \) are o multime numarabila de discontinuitati, \( \forall x \in (0,1) \) exista \( n \in N* \) astfel incat \( f \) sa fie continua pe \( (x,x+ \frac {1}{n}) \).
Fie \( F(x) = \int_{0}^{x}{f(t)}dt=0 \). Atunci, din \( \lim_{n\to\infty}{n \cdot \int_{x}^{x+\frac{1}{n}}{f(t)}dt}=0 \) avem:

\( \lim_{n\to\infty} \frac {F(x+ \frac {1}{n}) - F(x)}{(x+ \frac {1}{n}) - x} = 0 \) \( \Rightarrow F^\prime (x) = 0 \Rightarrow f(x)=0 \).

Asadar \( f(x)=0 \forall x\in [0,1]-M \), unde \( M \) este cel mult numarabila \( \Rightarrow \forall a,b \in (0,1) \) avem \( \int_{a}^{b}{f(t)}dt=0 \).

[Marius Dragoi]

Deoarece \( f \) are o multime numarabila de discontinuitati

Cum asa? Si chiar daca ar fi, concluzia aia cu continuitatea pe interval e tot hazardata, doar stim cu totii ca \( \mathbb{Q} \) este numarabila si densa in acelasi timp.

Pai \( f \) are Lebesgue...

[Dragos Fratila]

Deoarece \( f \) are o multime numarabila de discontinuitati, \( \forall x \in (0,1) \) exista \( n \in N* \) astfel incat \( f \) sa fie continua pe \( (x,x+ \frac {1}{n}) \).
Fie \( F(x) = \int_{0}^{x}{f(t)}dt=0 \). Atunci, din \( \lim_{n\to\infty}{n \cdot \int_{x}^{x+\frac{1}{n}}{f(t)}dt}=0 \) avem:

\( \lim_{n\to\infty} \frac {F(x+ \frac {1}{n}) - F(x)}{(x+ \frac {1}{n}) - x} = 0 \) \( \Rightarrow F^\prime (x) = 0 \Rightarrow f(x)=0 \).

Ce ai vrea sa folosesti pentru a obtine aceeasi concluzie cred ca este Lebesgue differentiation theorem.

[aleph]

Soluţia este imediată dacă aplicăm:

1. O funcţie integrabilă Riemann este continuă a.p.t.

2. În orice punct de continuitate \( x \) a lui \( f \), funcţia \( F : \ t \mapsto \int_0^t f \) este derivabilă şi \( F^{\prime}(x)=f(x) \).

3. O funcţie nulă a.p.t. are integrala 0.