Test de calificare pentru SEEMOUS 2009 dat la UPB

[poli]

3 din cele 4 probleme date la UPB:

1) a) \( \det(A^2+I_n)\geq 0 \).
b) Fie \( B=(1/2)A^2+A+I_n \). Sa se arate ca B e inversabila si sa se gaseasca inversa.

2) Fie un poligon regulat cu n laturi si un punct P in interior cu distantele pana la laturi \( x_1, x_2, ... , x_n \). Fie S aria poligonului.
a) \( S=(l/2)(x_1+x_2+...+x_n) \).
b) \( 1/x_1+1/x_2+...+1/x_n>2\pi/l \).

4) Fie \( f:R\to R \) continua, neidentic nula si satisfacand relatia
\( f(x)=2\int_0^x \sqrt{f(t)}dt \). Sa se determine \( f \).

[Ciprian Oprisa]

La 1):
a) Banuiesc ca trebuia precizat ca matricea e reala.
b) Daca luam \( A=\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
1 & -1 \\
\end{array}\right) \) ne iese \( B=0 \).

[Ciprian Oprisa]

La 2):
a) Unim \( P \) cu varfurile poligonului si il impartim in triunghiuri. Aria triunghiului \( k \) este \( S_k=\frac{l\cdot x_k}{2} \), iar aria poligonului va fi \( S=\sum\limits_{k=1}^n S_k=\frac{l}{2}(x_1+\ldots+x_n) \).

b) Pentru orice numere reale strict pozitive are loc inegalitatea:
\( (x_1+\ldots+x_n)(\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n})\geq n^2 \),
ce rezulta din inegalitatea mediilor aritmetica si armonica.
Cum \( x_1+\ldots+x_n \) am aratat ca e constanta, obtinem ca \( \frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n} \) isi atinge minimul la cazul de egalitate, adica atunci cand \( x_1=\ldots=x_n=r \), adica punctul \( P \) este cercul centrului inscris al poligonului.
In acest caz, \( \frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}=\frac{n}{r} \), si inegalitatea se reduce la \( \frac{n}{r}>\frac{2\pi}{l} \Leftrightarrow n\cdot l>2\pi r \), adica perimetrul poligonului este mai mare decat lungimea cercului inscris.