Polinoame reductibile

[Marius Mainea]

Fie K un corp finit astfel incat polinomul \( X^2-5 \) este ireductibil in \( K[X] \). Aratati ca:

a) \( 1+1\neq 0 \).

b) pentru \( a\in K \), polinomul \( X^5+a \) este reductibil in \( K[X] \).

OJ 2003 , Marian Andronache

[Bogdan Posa]

Se arata ca daca \( a^5=1 \), atunci a=1 (se foloseste ireductibilitatea polinomului \( X^2-5 \) plus o descompunere gasita pe luna ). Pe baza acestui rezultat functia \( f(x)=x^5 \) este injectiva, deci bijectiva (K finit), deci \( X^5+a=X^5+b^5=(x+b)g(x) \). Descompunerea de care vorbeam este
\( a^5-1 = 4^{-1}a^2(a-1)((2a+2a^{-1}+1)^2-5) \) iar cum f este de gradul doi ireductibil in K rezulta ca el nu are nici o radacina. Deci a=1.

Cateva nelamuriri:
1) Daca f este un polinom ireductibil peste un corp finit asta nu inseamna ca nu are nici o radacina in K, nu ? Pentru un polinom de gradul 2 inteleg de ce este adevarata.
2) Daca f este reductibil in K inseamna ca f are o radacina in K ?

[Marius Mainea]

1) Daca un polinom e ireductibil, atunci nu are nici o radacina in K.

2) Nu insemna. \( X^4+X^2+\hat1\in \mathbb{Z}_5[X] \) e reductibil si nu are nici o radacina in \( \mathbb{Z}_5 \).

[Marius Mainea]

Bogdane, descompunerea aceea nu este chiar de pe ,,luna''.

\( a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)=a^2(a-1)(a^2+a+1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2})=a^2(a-1)[(a+\frac{1}{a})^2+(a+\frac{1}{a})-1]= \)
\( =a^2(a-1)[(a+\frac{1}{a}+\frac{1}{2})^2-1-\frac{1}{4}]=\frac{1}{4}a^2(a-1)[(2a+\frac{2}{a}+1)^2-5] \)