Inel cu 8 elemente+conditie=corp

[Bogdan Posa]

Fie A un inel cu 8 elemente. Daca exista \( a\in A \) astfel incat \( a^3+a+1=0 \), atunci 1+1=0 si A este corp.

O generalizare se poate ? Adica fie A un inel si f un polinom (eventual dependent de ordinul lui A). Daca un element al inelului este radacina a polinomului, atunci inelul este corp.

[Marius Mainea]

Din enunt \( a(a^2+1)=-1 \) deci \( a\in U(A) \) .

Fie k ordinul lui a in U(A) deci \( a^k=1 \), \( k\in \{1,2,...,7\} \).

Toate situatiile de mai sus duc la contradictii in afara de k=7, asadar \( a^7=1 \). Deci \( U(A)=A^{\ast} \), A este corp si 1+1=0.