Primele p cifre ale numarului m^n

[Radu Titiu]

Fie \( m,p \in \mathbb{N}^* \), \( m\geq 2 \) a.i. \( (m,10)=1 \) si fie \( x_1, x_2, .. , x_p \) numere din multimea \( \{0, 1, 2, ... , 9\} \) (\( x_1 \neq 0 \)). Sa se arate ca exista \( n\in \mathbb{N} \) astfel incat primele \( p \) cifre ale numarului \( m^n \) sa fie \( x_1, x_2, ... , x_p \).

[Omer Cerrahoglu]

Notam \( \overline{x_1 x_2 ...x_p} \) cu k. Ceea ce ramane de demonstrat este ca exista numere naturale l si n astfel incat \( 10^l\cdot k\leq m^n<10^l \cdot(k+1) \Longleftrightarrow \lg (10^l\cdot k)\leq \lg (m^n)<\lg (10^l\cdot(k+1))\Longleftrightarrow \lg k\leq n \lg m -p<\lg (k+1) \).
Deoarece \( \lg m \) este irational (pentru ca \( (m;10)=1 \)), avem pe baza teoremei lui Kronecker ca multimea A={\( n\lg m-p \)|n,p naturale} este densa in \( \mathbb{R} \), deci exista n si p naturale astfel incat inegalitatea \( \lg k\leq n \lg m -p<\lg (k+1) \) sa aiba loc, deci va exista un numar n astfel incat \( m^n \) sa inceapa cu k.