Matrice egala cu transpusa sa

[Marius Mainea]

Fie A matrice patratica de ordinul 3 cu elemente reale si cu proprietatea ca exista n natural, nenul si par astfel incat \( \tr(A-A^t)^n=0 \). Aratati ca \( A=A^t \).

Daniel Jinga, Shortlist ONM 2008

[Bogdan Posa]

\( B=A-A^t \) este o matrice antisimetrica, deci are toate valorile proprii pur imaginare sau nule. Din \( \tr(B)^n=0 \) obtinem ca B are toate valorile proprii \( 0 \).

Teorema Daca \( X \) este o matrice nilpotenta si care comuta cu \( X^t \), atunci \( X=0_{n} \).
Demonstratie:
\( X = OTO^{t} \) unde \( O \) este o matrice ortogonala si \( T \) este o matrice inferior triunghiulara cu \( 0 \) pe diagonala. \( A^{t} = O T^{t}O^{t} \). Avem \( AA^{t} - A^{t}A = O(TT^{t} - T^{t}T)O^{t} = 0 \), deci \( TT^{t} - T^{t}T = 0 \). De aici se observa ca \( T = 0_{n} \) uitandu-ne la diagonala matricei \( TT^{t} - T^{t}T \). Deci \( X=0_{n} \).

Revenind la problema noastra, matricea \( B \) este antisimetrica (deci clar comuta cu transpusa sa) si nilpotenta, deci \( B=0_{n} \).