Mica Teorema a lui Fermat si Teorema lui Euler

[Sabin Salajan]

Asta nu e chiar o propunere de problema, dar... m-ar interesa o demonstratie pt Mica Teorema a lui Fermat si pt Teorema lui Euler... (fara grupuri si ordine... la nivel elementar, pt un elev de a 9-a). Stiu ca am vazut ceva intr-o carte (daca stie cineva sa imi spuna unde as fi recunoscator) acum cativa ani, dar am uitat unde si am rascolit toata biblioteca fara succes.

Ma intereseaza aceste demonstratii atat pt faptul in sine de a sti demonstratia acestor teoreme cat si pt ideile desprinse din ele pe care le-as putea folosi si in alte probleme (in caz ca se intreba cineva de ce vreau sa stiu,cand ele sunt atat de cunoscute si acceptate ca fiind adevarate ).

[Bogdan Cebere]

Pentru Mica teorema a lui Fermat : http://www.mateforum.ro/viewtopic.php?t=849

[Filip Chindea]

Nu prea inteleg de ce le ceri pe amandoua, avand in vedere ca prima este un caz particular al urmatoarei (desi, este adevarat, are o solutie intr-un rand: daca \( a \in \overline{1,p} \), insumam, pentru \( k \in \overline{0, a - 1} \), congruentele \( (k+1)^p \equiv k^p + 1 \pmod{p} \), datorate simplificarii respectivelor combinari).

S-a mai discutat pe forum aceasta tema. In limbaj concis, aplicatia \( f : \mathbb{Z}_n^{\times} \rightarrow \mathbb{Z}_n^{\times} \), \( f(s) := as \), pentru \( (a, n) = 1 \), este bijectie. Rezulta ca \( \prod x = \prod f(x) = \prod (ax) = a^{\varphi(n)} \prod x \), deci prin simplificare concluzia (\( \varphi(n) \) este ordinul lui \( \mathbb{Z}_n^{\times} \)).

(Nicio problema - totul se poate traduce in limbaj de clasa a VII-a, daca vrei !)

Din aceasta demonstratie, ideea care se desprinde vorbeste de la sine - si aplicatiile sunt suficiente (vezi, de exemplu, Lema lui Gauss legata de multimile Gaussiene).

[Sabin Salajan]

Da, multumesc amandurora pt demonstratii: a doua cu combinarile nu o mai vazusem, cealalta e cea pe care o stiam. Cateodata uiti si chestiile simple (si apoi te intrebi cum sa le faci pe alea grele? ).