AB+BA=O si AX+XA=B implica B nilpotenta

[Bogdan Posa]

Fie \( A,B \in M_{n}(R),\ AB+BA=O_{n} \) cu proprietatea ca exista \( X \in M_{n}(R) \) astfel incat \( AX+XA=B \). Aratati ca \( B \) este nilpotenta.

[c.adryan]

fie \( x_i , \) \( y_i, \) \( z_i, \) \( i=\overline{1,n} \) valorile proprii pt \( A, B, \) respectiv \( X \).
Avem \( y_i=2x_iz_i \) iar din prima relatie avem \( 2x_i^2z_i=0 \) de unde rezulta \( x_iz_i=0 \), ceea ce implica \( B^n=O_n \).

PS Sper sa fie bine

[Bogdan Cebere]

Eu nu inteleg in baza carui rezultat se poate trece la valori proprii o relatie ca \( AX+XA=B \)

[c.adryan]

Eu nu inteleg in baza carui rezultat se poate trece la valori proprii o relatie ca \( AX+XA=B \)

vezi teorema 2 din urmatorul link
http://cnmv.ploiesti.roedu.net/mambo/Ex ... 2001.3.pdf

[Beniamin Bogosel]

Eu nu inteleg in baza carui rezultat se poate trece la valori proprii o relatie ca \( AX+XA=B \)

vezi teorema 2 din urmatorul link
http://cnmv.ploiesti.roedu.net/mambo/Ex ... 2001.3.pdf

Teorema 2 din link e pentru polinom cu o singura variabila, nu cu mai multe...
Tu ai aplicat-o pentru un polinom in 2 variabile aici.

Si nici cum ai aplicat-o nu-i bine, pentru ca sa rezulte concluzia ta trebuie ca X sa fie inversabila, adica sa aiba valorile proprii diferite de 0, ceea ce nu se da si nici nu ai demonstrat.

[bae]

Se pare ca \( \tr(B^{2k})=0 \) pentru orice \( k\geq 1 \). Iar asta ar trebui sa fie suficient, nu?