Matrice inversabile A, B cu proprietatea ca AB=-BA

Diana Putan · Post by **Diana Putan** » Wed Mar 12, 2008 11:11 pm

(a) Exista doua matrice inversabile \( 2\times2 \) cu coeficienti reali \( A \) si \( B \) astfel incat \( AB=-BA \)? Daca da, gasiti un exemplu. Daca nu, justificati raspunsul.

(b) Aceeasi intrebare pentru matric \( 3\times3 \).

Admitere SNSB, 2006

Bogdan Posa · Post by **Bogdan Posa** » Wed Mar 12, 2008 11:44 pm

a) \( X = \begin{bmatrix}0 & 1 \\
1 & 0\end{bmatrix} \)
\( Y = \begin{bmatrix}1 & 0 \\
0 & -1\end{bmatrix} \).

Bogdan Cebere · Post by **Bogdan Cebere** » Thu Mar 13, 2008 8:09 am

Pentru 3X3 nu exista solutii deoarece obligatoriu detA=0 sau detB=0. Dar ma intreb daca nu cumva se poate generaliza pentru doua matrice de ordin 2n.

bae · Post by **bae** » Thu Mar 13, 2008 10:57 am

Pai daca faci o matrice bloc cu \( X \) (din postul de mai sus) pe diagonala principala de \( n \) ori si la fel si cu \( Y \), o sa obtii un exemplu.

Sergiu Moroianu · Post by **Sergiu Moroianu** » Fri Jun 20, 2008 3:37 pm

Dar n matrice inversabile care anticomuta intre ele, adica \( A_i A_j=-A_j A_i \) pentru orice i diferit de j? Cred ca in dimensiune \( 2^{2n} \) pot fi gasite cel putin 2n+1 astfel de matrice. In particular, in exemplul de mai sus mai exista o matrice C inversabila care anticomuta cu A si B.