Matrice simetrica reala cu cel mult 10 elemente negative

[bae]

Sa se arate ca pentru orice matrice \( A\in M_{4,2}(\mathbb{R}) \), matricea \( A\cdot ^tA \) are cel mult 10 elemente strict negative.

Concursul GM 1997

[un_oarecare]

este problema III de la varianta 10 din subiectele de bac de anul trecut!
..apropo de cum evolueaza o problema...

[Beniamin Bogosel]

Daca \( A=\begin{pmatrix}a&e\\b&f\\c&g\\d&h\end{pmatrix} \) este matricea noastra, atunci \( A\cdot ^tA \) este o matrice simetrica avind elementele de pe diagonala principala suma de patrate, deci pozitive. Prin urmare ar mai trebui sa demonstram ca exista un element al matricei care este nenegativ si care nu e pe diagonala principala pentru a rezolva problema.

Prin reducere la absurd presupunem ca toate elementele matricei care nu sunt pe diagonala principala sunt strict negative. Deci
\( ab+ef<0\\
ac+eg<0\\
bc+fg<0\\
ad+eh<0\\
bd+fh<0\\
cd+gh<0. \)
Dintre \( a,\ b,\ c \) cel putin doua au acelasi semn. Sa zicem, \( a \) si \( b \). Atunci \( ab>0\Rightarrow ef<0 \Rightarrow ac>0 \text{ sau } bc>0 \). Deci si \( c \) are acelasi semn ca si \( a,\ b \). De aici si din prespunere rezulta ca \( ef<0,\ eg<0,\ fg<0 \). Contradictie, pt ca produsul lor e un patrat, deci pozitiv.
Prin urmare exista un element care nu este pe diagonala principala si care este nenegativ. Cum matricea produs este simetrica, rezulta ca exista doua astfel de elemente. Atunci exista cel mult 16-4-2=10 elemente strict negative.