Criteriul lui Kummer
Posted: Fri Feb 29, 2008 12:05 am
Nu inteleg in totalitate demonstratia la aces criteriu. Mai exact nu inteleg demonstratia pentru urmatoarea parte:
Fie \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) o serie cu termeni pozitivi.
Daca exista un sir (u_n) de numere reale strict pozitive a.i. seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}} \frac{1}{u_n} \) sa fie divergenta si exista un numar natural N a.i.
\( u_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-u_{n+1} \leq 0 \) oricare ar fi n>=N atunci seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) este divergenta.
Si acum nu inteleg demonstratia :-/ : conditia e echivalenta cu :
\( \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{\frac{1}{u_{n+1}}}{\frac{1}{u_n}} \) pt orice n>=N si de aici se trage concluzia ca seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) este divergenta.
Se face trimitere la criteriul raportului. Dar mie tot nu mi-e clar. De exemplu pt u_n=n din conditia \( \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{n}{n+1} \) de ce ar rezulta ca seria respectiva sa fie divergenta? Rezulta doar lim inf a_(n+1)/a_n >= 1, ceea ce nu e suficient pt a stabili rezultatul folosind criteriul raportului deoarece inegalitatea nu e stricta.
Fie \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) o serie cu termeni pozitivi.
Daca exista un sir (u_n) de numere reale strict pozitive a.i. seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}} \frac{1}{u_n} \) sa fie divergenta si exista un numar natural N a.i.
\( u_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-u_{n+1} \leq 0 \) oricare ar fi n>=N atunci seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) este divergenta.
Si acum nu inteleg demonstratia :-/ : conditia e echivalenta cu :
\( \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{\frac{1}{u_{n+1}}}{\frac{1}{u_n}} \) pt orice n>=N si de aici se trage concluzia ca seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) este divergenta.
Se face trimitere la criteriul raportului. Dar mie tot nu mi-e clar. De exemplu pt u_n=n din conditia \( \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{n}{n+1} \) de ce ar rezulta ca seria respectiva sa fie divergenta? Rezulta doar lim inf a_(n+1)/a_n >= 1, ceea ce nu e suficient pt a stabili rezultatul folosind criteriul raportului deoarece inegalitatea nu e stricta.