Criteriul lui Kummer

[Radu Titiu]

Nu inteleg in totalitate demonstratia la aces criteriu. Mai exact nu inteleg demonstratia pentru urmatoarea parte:

Fie \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) o serie cu termeni pozitivi.
Daca exista un sir (u_n) de numere reale strict pozitive a.i. seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}} \frac{1}{u_n} \) sa fie divergenta si exista un numar natural N a.i.

\( u_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-u_{n+1} \leq 0 \) oricare ar fi n>=N atunci seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) este divergenta.

Si acum nu inteleg demonstratia :-/ : conditia e echivalenta cu :

\( \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{\frac{1}{u_{n+1}}}{\frac{1}{u_n}} \) pt orice n>=N si de aici se trage concluzia ca seria \( \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n \) este divergenta.

Se face trimitere la criteriul raportului. Dar mie tot nu mi-e clar. De exemplu pt u_n=n din conditia \( \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq \frac{n}{n+1} \) de ce ar rezulta ca seria respectiva sa fie divergenta? Rezulta doar lim inf a_(n+1)/a_n >= 1, ceea ce nu e suficient pt a stabili rezultatul folosind criteriul raportului deoarece inegalitatea nu e stricta.

[Liviu Paunescu]

Pai atunci scrie conditia aceea in felul urmator:
\( \frac{a_{n+1}}{\frac{1}{u_{n+1}}}\geq \frac{a_n}{\frac{1}{u_n}} \) pt orice n>=N si rezulta:

\( \frac{a_N}{\frac{1}{u_N}}\leq\frac{a_{N+1}}{\frac{1}{u_{N+1}}}\leq\ldots\leq\frac{a_n}{\frac{1}{u_n}}\leq\ldots \). Acum e clar?

[Radu Titiu]

Da. Si nu mai e nevoie de criteriul raportului. Multumesc.