Matrice complexe A, B si pentru care A comuta cu AB-BA

[bae]

Fie \( A,B\in M_n(\mathbb{C}) \) si \( C=AB-BA \). Daca \( AC=CA \), atunci sa se arate ca pentru orice \( \lambda\in\mathbb{C} \) avem \( \det(\lambda C+B)=\det(B) \). Sa se deduca de aici ca matricea \( C \) nu este inversabila.

GM 1/1999

[Bogdan Cebere]

Ar fi mai bine daca \( C \) ar comuta cu \( B \). Dar vad ca nici in Gazeta nu a fost publicata o solutie.

[opincariumihai]

Rezultatul problemei ( este semnata de N. Boboc ) functioneaza si vad ca are legatura cu o problema postata pe forum ( voi redacta in curand )...

[andy crisan]

Se arata, mai intai, ca \( AB-BA \) este nilpotenta, concluzia reiesind din aceasta proprietate.
Sa aratam acum ca \( AB-BA \) este nilpotenta.
\( (AB-BA)^{m+1}=C^{m+1}=C^m(AB-BA)=AC^mB-C^mBA \)(caci \( A \)si \( C \) comuta). Trecem la urma in aceasta ultima relatie si obtinem:\( tr(C^m)=tr(AC^mB-C^mBA)=0 \) \( \forall m\in\mathbb{N}^* \). Aplicand sumele lui Newton obtinem ca polinomul lui \( C \) este polinomul nul, in concluzie \( C \) este nilpotenta.
Pentru a arata identitatea de determintanti a se vedea http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=4825 in ultimul post.

[opincariumihai]

La postul de care vorbesti ai demonstrat ca
Daca \( A,X\in\mathcal{M}(\mathbb{C}) \) cu \( X \) nilpotenta si cu \( AX=XA \) atunci \( \det(A+X)=\det(A) \).

La problema noastra \( B \) nu comuta cu \( C \)

[andy crisan]

Da nu am citit cu atentie. Aveti dreptate. Am sa caut si alta solutie. Desi eu tind sa cred ca \( B \) si \( C \) ar trebui sa comute caci nu vad o "jonglare" cu matricele din paranteze.