Suma de matrice cu determinantul pozitiv

[Bogdan Posa]

Aratati ca \( \det(A_{1}^tA_{1} + A_{2}^tA_{2} + ... +A_{n}^tA_{n}) \geq 0 \), unde \( A_{k} \in M_{n}(R) \).

M. Cavachi, ONM 1995

[bae]

Matricea \( A=A_{1}^tA_{1} + A_{2}^tA_{2} + ... +A_{n}^tA_{n} \) este simetrica. Se arata usor ca este pozitiv-semidefinita (pentru definitie vezi, de exemplu, aici). Din criteriul lui Sylvester (aceeasi referinta) rezulta ca toti minorii sai principali sunt mai mai sau egali cu zero, in particular si determinantul.

Exista desigur si solutii "elementare" la aceasta problema, dar cred eu ca ele nu fac altceva decat sa "traduca" ceea ce s-a aratat mai sus.

[opincariumihai]

Haideti sa dam si o solutie asa-zis "elementara" la aceasta problema, dupa cum spune domnul Bae.
De fapt se demonstreaza mai general ca daca

\( A_k\in M_{m,n}(\mathbb{C}),\ k=\overline{1,s} \), atunci \( \det(\sum A_kA_k^h)\geq 0 \).

Pentru aceasta va fi suficient sa aratam ca valorile proprii ale matricei \( \sum A_kA_k^h \) sunt reale si nenegative.
Fie \( a \) o valoare proprie a matricei \( \sum A_kA_k^h \). Atunci exista un vector coloana nenul \( X \) astfel incat \( (\sum A_kA_k^h)X=aX. \) Rezulta \( X^h(\sum A_kA_k^h)X=aX^hX \) de unde \( \sum X^hA_kA_k^hX=aX^hX \) si notand cu \( Y_k=X^hA_k \) ultima relatie se scrie echivalent \( \sum Y_kY_k^h=aX^hX \) adica \( \sum ||Y_k||^2=a||X||^2 \) de unde si concluzia.
Acum daca \( A_k \) reala avem ca \( A_k^h=A_k^t. \)

Observatie: \( A^h=(\overline{A})^t. \)