Sir de numere impare

[mihai++]

Fie \( (a_n)_{n\geq1} \) un sir strict crescator de numere impare. Notam cu \( s_k \) suma primilor \( k \)termeni ai acestui sir.
Sa se arate ca pentru orice k natural, in intervalul \( [s_k,s_{k+1}] \) se afla cel putin un patrat perfect.

[Iulian Cimpean]

Pt fiecare k consideram \( n(k) \) numarul natural minim a.i. \( S(k)= \) suma primelor \( n(k) \) numere naturale impare sa fie mai mare decat \( s_k \). Cum \( (a_n)_n \) e strict crescator rezulta ca \( S(k)<s_{k+1} \). Cum \( S(k)={n(k)}^2 \), e cam gata.

[mihai++]

Ai putea sa dai o explicatie mai clara la chestia cu \( S(k)\leq s_{k+1} \)?
Nu cred ca e asa evidenta, este foarte vag pt ca poti sa ai in acelasi timp \( n(k)^2>s_{k+1} \). De unde stii ca sumele \( s_k,s_{k+1} \) nu sunt foarte apropiate si \( S(k) \) le depaseste pe amandoua?

[Iulian Cimpean]

Ai putea sa dai o explicatie mai clara la chestia cu \( S(k)\leq s_{k+1} \)?
Nu cred ca e asa evidenta, este foarte vag pt ca poti sa ai in acelasi timp \( n(k)^2>s_{k+1} \). De unde stii ca sumele \( s_k,s_{k+1} \) nu sunt foarte apropiate si \( S(k) \) le depaseste pe amandoua?

Pai \( S(k) \) e ceva de genul\( 1+3+5+....+(t-2)+t \), unde \( t-2 \) este evident mai mic decat \( a_k \), pt ca \( 1+3+5+....+(t-2) \) e mai mic decat \( s_k=a_1+a_2+...+a_k \). De asemenea, rezulta ca\( t <a_{k+1} \), pt ca \( (a_n)_n \)e strict crescator. Cum \( s_{k+1}=s_k +a_{k+1} > s_k +t>S(k) \), \( s_k si s_{k+1} \) nu pot fi chiar asa de "apropiate". Sirul \( (a_n)_n \) e un sir strict crescator de numere impare, cazul in care sunt "cel mai apropiate" fiind acela in care \( a_{k+1}=a_k+2 \). Lungimea intevalului \( [s_k,s_{k+1}] \) e \( a_{k+1} \).