Nicolae Paun 2008 Problema 2

[maxim bogdan]

Spunem ca o multime finita de vectori din plan este pozitiva, daca suma elementelor oricarei submultimi nevide a sa este nenula.

a) Sa se arate ca orice multime cu \( 2n+1,\ n\in\mathbb{N}* \), vectori contine o submultime cu \( n+1 \) vectori care este pozitiva.

b) Sa se construiasca o multime cu \( 2n+1,\ n\in\mathbb{N}* \), vectori care nu contine nici o submultime cu \( n+2 \) vectori care sa fie pozitiva.

Lavinia Savu, Bucuresti

[DrAGos Calinescu]

Pentru punctul a) consideram toti cei \( 2n+1 \) vectori avand aceeasi origine O. Fie o dreapta d care trece prin O, care nu este paralela cu niciunul din vectori.Conform principiului cutiei, de o parte a dreptei vor fi cel putin \( n+1 \) vectori, care prin adunare nu pot rezulta vectorul nul.
b)\( {\vec{a_1},-\vec{a_1}...\vec{a_n},-\vec{a_n},\vec{a_{n+1}} \)