Matrice de ordinul 2

[Marius Mainea]

Fie \( A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}). \) Sa se arate ca :

\( \det(A+\tr(A)\cdot I_2)=\det(A^2+2I_2)\Longleftrightarrow \det A \in \{1,4\}. \)

[Bogdan Posa]

Fie a,b valorile proprii ale matricei A. Atunci valorile proprii ale matricei \( A+\tr(A)I_{2} \) sunt \( a+a+b \) si \( b+a+b \) iar ale matricei \( A^2+2I_{2} \) sunt \( a^2+2 \) si \( b^2+2 \). Determinatul este produsul valorilor proprii si desfacand egalitatea data se ajunge la
\( 5ab=(ab)^2+4 \) de unde cerinta reiese imediat.