Matrice "transformata"

[Radu Titiu]

Fie \( A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}) \) cu elemente numere reale pozitive. Numim "transformare" inlocuirea tuturor elementelor de pe o linie sau de pe o coloana cu inversele lor. Sa se arate ca putem efectua o succesiune de transformari care modifica matricea \( A \) in matricea \( B \) cu proprietatea ca produsul tuturor elementelor de pe fiecare linie si de pe fiecare coloana este cel putin \( 1 \).

Concursul interjudetean Papiu, Tg Mures, 2008 (cls 12)

[Beniamin Bogosel]

Date elementele initiale, exista cel mult \( 2^{n\times m} \) matrici care pot fi rezultatul unei transformari. (matrici cu elementele egale cu cel de pe aceeasi pozitie in matricea initiala, sau inversul sau...) Fiind intr-un numar finit, exista una pentru care produsul elementelor este maxim. Daca aceasta ar avea o linie sau o coloana pentru care produsul elementelor ar fi <1 atunci inversand elementele de pe acea linie/coloana obtinem o matrice cu produsul strict mai mare, ceea ce contrazice maximalitatea presupusa. Deci exista o matrice cu proprietatile cerute care poate fi obtinuta prin transformari.

OBS: Problema e vopsita dupa o problema mai veche: La fel pentru o matrice, se defineste o transformare ca fiind schmbarea semnului tuturor elementelor unei linii/coloane. Sa se demonstreze ca exista o transformata care are sumele pe linii/coloane pozitive. Pentru problema noastra se inlocuiesc elementele unei astfel de matrici cu \( e \) la puterea elementul respectiv.